การรวมเชิงตัวเลขของอินทิกรัลหลายมิติพร้อมขอบเขตที่รู้จัก

ฉันมีอินทิกรัลไม่เหมาะสม (2 มิติ)

I = \int_{A} \frac{W (x, y)}{F (x, y)} d x d y

$I=\int_A \frac{W(x,y)}{F(x,y)}\,\mbox{d}x\mbox{d}y$

ที่โดเมนของการรวมมีขนาดเล็กกว่า , แต่ต่อไป จำกัด โดย 0เนื่องจากและราบรื่นและ $A$ $x=[-1,1]$ $y=[-1,1]$ $F(x,y)>0$ $F$ $W$ $W \ne 0$ ที่ขอบเขตความสัมพันธ์ในภายหลังหมายความว่า integrand สามารถเป็นเอกพจน์ที่ขอบเขต integrand นั้นมีขอบเขต จำกัด ฉันถึงตอนนี้คำนวณอินทิกรัลนี้ด้วยการรวมเชิงตัวเลขที่ซ้อนกัน สิ่งนี้ประสบความสำเร็จ แต่ช้า ฉันค้นหาวิธีที่เหมาะสมกว่า (เร็วกว่า) เพื่อระบุถึงอินทิกรัลซึ่งอาจเป็นวิธีมอนติคาร์โล แต่ฉันต้องการหนึ่งที่ไม่ได้ใส่คะแนนในขอบเขตของโดเมนที่ไม่ใช่ลูกบาศก์และใช้ขีด จำกัด ของอินทิกรัลไม่ถูกต้อง การแปลงแบบอินทิกรัลสามารถช่วยสำหรับนิพจน์ทั่วไปนี้ได้หรือไม่? โปรดทราบว่าฉันสามารถแก้ไขสำหรับเป็นฟังก์ชั่นของและคำนวณได้ว่าสำหรับฟังก์ชั่นน้ำหนักพิเศษบางอย่าง $F(x,y)$ $y$ $x$ $I$ ) $W(x,y)$

monte-carlo quadrature

— highsciguy
แหล่งที่มา

คุณช่วยอธิบายวิธีการที่คุณเคยใช้มาได้ไหม? คุณใช้รูทีนเฉพาะอย่างใดในลักษณะซ้อนกัน นอกจากนี้

ภายใน

คือรากของ

อยู่ที่ขอบเขตเท่านั้นหรือไม่

F (x, y) \neq 0

$F(x,y) \ne 0$

A

$A$

F (x, y)

$F(x,y)$

— Pedro

GSL อัลกอริทึม QAGS: gnu.org/software/gsl/manual/html_node/... ขอบคุณสำหรับการแก้ไข (ไม่เห็นตัวเลือกสำหรับสมการเรียงพิมพ์)!

— highsciguy

คำตอบ:

คำเตือน: ฉันเขียนวิทยานิพนธ์เอกของฉันเกี่ยวกับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสปรับตัวดังนั้นคำตอบนี้จะลำเอียงอย่างรุนแรงต่อการทำงานของฉันเอง

QAGS ของ GSL เป็นผู้รวมQUADPACKเก่าและไม่แข็งแกร่งอย่างสมบูรณ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีภาวะเอกฐาน สิ่งนี้มักจะนำไปสู่ผู้ใช้ที่ต้องการความแม่นยำมากกว่าที่พวกเขาต้องการจริง ๆ ดังนั้นการรวมเข้าด้วยกันจึงค่อนข้างแพง

หากคุณกำลังใช้ GSL คุณอาจต้องการลองใช้รหัสของตัวเองCQUADตามที่อธิบายไว้ในบทความนี้ มันถูกออกแบบมาเพื่อรับมือกับความแปลกประหลาดทั้งที่ขอบช่วงเวลาและภายในโดเมน โปรดทราบว่าการประมาณข้อผิดพลาดนั้นค่อนข้างมีประสิทธิภาพดังนั้นขอเฉพาะตัวเลขให้มากที่สุดเท่าที่คุณต้องการ

สำหรับการบูรณาการ Monte-Carlo นั้นขึ้นอยู่กับประเภทของความแม่นยำที่คุณต้องการ ฉันยังไม่แน่ใจว่ามันจะทำงานใกล้กับเอกพจน์ได้ดีเพียงใด

— เปโดร
แหล่งที่มา

ฉันจะดูที่นี่อย่างแน่นอนเพราะมันจะง่ายที่สุดที่จะใช้มัน ในความเป็นจริงฉันพบว่ารูทีน QAGS ไม่เสถียรสำหรับปัญหานี้

— highsciguy

มีวิธีที่จะมีอิทธิพลต่อการเกิด 'GSL_EDIVERGE' หรือไม่ ดูเหมือนว่าจะปรากฏขึ้นสำหรับพารามิเตอร์บางอย่าง

— highsciguy

@highsciguy: อัลกอริทึมส่งกลับ GSL_EDIVERGE เมื่อเชื่อว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด หากคุณสามารถยกตัวอย่างที่ทำให้มันล้มเหลวได้

— Pedro

มันเป็นการยากที่จะแยกกิจวัตรที่เรียบง่ายออกไปเล็กน้อยเนื่องจากมันฝังอยู่ในรหัสทั่วไปสำหรับอินทิกรัล n-dimensinal ฉันจะเห็น ... แต่สำหรับการแก้ไข y, 1 / sqrt (F (x, y)) ควรทำตัวเหมือน 1 / sqrt (x) เมื่อ x เข้าใกล้ศูนย์ของ F (x, y) ตั้งแต่ F (x, y) สามารถเขียนเป็นพหุนามใน x ได้ แต่อาจเป็นไปได้ว่าพฤติกรรม 1 / sqrt (x) เริ่มช้า อาจเป็นไปได้ว่าการลดลงของการรวมกันของตัวเลขไม่ดีเกินไป

— highsciguy

@ highsciguy: ใช่นี่เป็นความคิดที่ไม่ดี กฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสส่วนใหญ่สมมติว่าอินทิกรัลและมีระดับความนุ่มนวลและถ้าคุณตั้งให้เป็นศูนย์ ณ จุดใดจุดหนึ่งโดยพลการคุณกำลังแนะนำความไม่ต่อเนื่อง คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นมากถ้าคุณใช้ช่วงเวลาจริง!

— Pedro

โดยทั่วไปวิธีการของมอนติคาร์โลอาจไม่สามารถแข่งขันกับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เว้นแต่ว่าคุณจะมีอินทิกรัลมิติสูงซึ่งคุณไม่สามารถจ่ายการระเบิดแบบ combinatorial ในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยมิติ

$\int_{[0,1]^n} f(x)\; d^nx$ $n$ $M$ $M^n$ $k$ $N=(kM)^n$ $k$ $(2k-1)$ $e = {\cal O}(h^5)={\cal O}(M^{-(2k-1)})$

e = O (N^{- (2 k - 1) / n}) .

$e = {\cal O}(N^{-(2k-1)/n}).$

e = O (N^{- 1 / 2})

$e = {\cal O}(N^{-1/2})$

k > n / 4 + 1 / 2

$k>n/4+1/2$

$k\le 8$ $n=30$ $M=1$ $N=8^{30}$ คะแนนบูรณาการมากกว่าที่คุณเคยประเมินในชีวิต กล่าวอีกนัยหนึ่งตราบใดที่คุณสามารถประเมินคะแนนการรวมได้มากพอการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสในส่วนย่อยของโดเมนการรวมกลุ่มของคุณจะเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากกว่าเสมอ เป็นกรณีที่คุณมีอินทิกรัลมิติสูงซึ่งคุณไม่สามารถประเมินคะแนนการรวมกลุ่มได้แม้แต่แผนกเดียวอีกต่อไปที่ผู้คนใช้วิธีการมอนติคาร์โลแม้จะมีลำดับการรวมที่แย่ลง

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

ลองใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบทวีคูณแบบซ้อน (ดูการใช้งานOoura ) เทคนิคนี้ใช้การแปลงผันแปรที่ทำให้อินทิกรัลเปลี่ยนรูปและทำงานอย่างราบรื่นที่ขอบเขตและมีประสิทธิภาพมากสำหรับการจัดการเอกฐานที่ขอบเขต นอกจากนี้ยังมีรายการอ้างอิงที่ดีมากในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส DE บนเว็บไซต์ของเขา

— GertVdE
แหล่งที่มา