การรวมระบบ Monte Carlo ดีกว่าสถานการณ์เสมือน Monte Carlo อย่างไร

คำถามที่ง่ายพอ: การทำอินทิกรัลหลายมิติเนื่องจากมีการตัดสินใจว่าวิธีมอนติคาร์โลบางประเภทนั้นมีความเหมาะสมมีข้อได้เปรียบใด ๆ ที่การรวม MC แบบปกติโดยใช้ตัวเลขเทียมปลอมมีการรวมกึ่งเสมือนมอนติคาร์โล ? ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันจะจำสถานการณ์ที่ความได้เปรียบนี้เข้ามาเล่นได้อย่างไร (และถ้าไม่ใช่ทำไมทุกคนเคยใช้การรวมกันของ Monte Carlo แบบเดิม ๆ )

การจำลองแบบมอนติคาร์โลเป็นวิธีการทางเลือกสำหรับการคำนวณการกระเจิงของอิเล็กตรอน บางครั้งมีการใช้เทคนิคเช่นการสุ่มตัวอย่างที่สำคัญดังนั้นคุณอาจบอกว่ามันไม่ใช่มอนเตคาร์โลอันเก่าแก่ แต่ประเด็นหลักน่าจะเป็นที่มาของกระบวนการสุ่มโดยเนื้อแท้ที่นี่ในขณะที่คุณถามเพียงเกี่ยวกับการใช้ Monte Carlo เพื่อการรวม

เพราะไม่มีใครพยายามเสนอคำตอบให้ฉันลองขยายคำตอบหน่อย สมมติว่าเรามีการจำลองการกระเจิงของอิเล็กตรอนโดยคำนวณเพียงตัวเลขเดียวเช่นสัมประสิทธิ์การกระจายกลับ ถ้าเราจะจัดรูปแบบใหม่เป็นอินทิกรัลหลายมิติมันอาจจะเป็นอินทิกรัลมิติไม่ จำกัด ในทางกลับกันในระหว่างการจำลองเส้นทางการเคลื่อนที่เดียวจำเป็นต้องใช้จำนวนสุ่มจำนวน จำกัด เท่านั้น (หมายเลขนี้อาจมีขนาดค่อนข้างใหญ่หากการสร้างอิเล็กตรอนทุติยภูมิถูกนำมาพิจารณา) หากเราจะใช้ลำดับ quasirandom เช่นการสุ่มตัวอย่าง hypercube ละตินเราจะต้องใช้การประมาณที่มีจำนวนคงที่ขนาดและสร้างตัวเลขสุ่มสำหรับทุกมิติสำหรับแต่ละจุดตัวอย่าง

ดังนั้นฉันคิดว่าความแตกต่างคือการสุ่มตัวอย่างหน่วยไฮเปอร์ - ไฮเพอร์คิวชันบางชนิดเทียบกับคลาวด์น่าจะเป็นมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดรอบจุดกำเนิด

งานวิจัยของฉันบางส่วนเกี่ยวข้องกับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงปริมาณขนาดใหญ่ ในกรณีนี้การประมาณ monte carlo แบบดั้งเดิมของผลรวมของดอกเบี้ยจะช้าเกินไปที่จะคุ้มค่าในแง่ที่เป็นประโยชน์ ... นั่นคือฉันไม่ต้องการที่จะเรียกใช้การจำลองมากกว่า 100 ครั้งเพื่อให้ได้ทศนิยมที่แม่นยำยิ่งขึ้น เพื่ออินทิกรัล แต่ฉันมักจะใช้วิธีการอื่นเช่นกระจัดกระจาย smolyak เพราะพวกเขามีความแม่นยำที่ดีขึ้นในการประเมินผลการทำงานน้อยลง เป็นไปได้เพียงเพราะฉันสามารถสมมติระดับความเรียบในฟังก์ชัน

มันมีเหตุผลที่จะคาดเดาได้ว่าถ้าคุณคาดหวังว่าฟังก์ชั่นที่คุณกำลังรวมจะมีโครงสร้างบางอย่าง (เช่นความเรียบ) มันจะดีที่สุดที่จะใช้รูปแบบ quasi-monte carlo ที่ใช้มัน หากคุณไม่สามารถตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับฟังก์ชั่นได้จริง ๆ มอนเต้คาร์โลเป็นเครื่องมือเดียวที่ฉันสามารถจัดการได้

ข้อดีของการรวมมอนติคาร์โลแบบดั้งเดิมมากกว่าบูรณาการกึ่ง Monte Carlo จะกล่าวถึงใน Kocis และกระดาษขาวของที่นี่ พวกเขาแสดงเหตุผลดังต่อไปนี้:

• $\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$N$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$d \approx 40$$d$

• $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ $V[f]$$f$$D_{N}^{*}$

  น่าเสียดายที่ความแตกต่างทางทฤษฎีที่เชื่อมโยงกับลำดับที่มีอยู่นั้นไม่สามารถใช้งานได้สำหรับค่าปานกลางและขนาดใหญ่ของ s ตัวเลือกอื่น ๆ การประเมินเชิงตัวเลขของความแตกต่างของดาวของลำดับสำหรับ s ขนาดใหญ่ต้องใช้ความพยายามในการคำนวณที่มากเกินไปและแม้แต่การประมาณตัวเลขที่สมเหตุสมผลของความคลาดเคลื่อนเช่นนั้นก็ยากที่จะได้รับ

  ด้วยการบูรณาการ Monte-Carlo แบบดั้งเดิมเราสามารถระบุเป้าหมายข้อผิดพลาดและรอได้เพราะข้อผิดพลาดที่ผูกไว้นั้นคำนวณได้ง่าย ด้วย QMC เราจะต้องระบุจำนวนของการประเมินผลการทำงานและหวังว่าข้อผิดพลาดจะอยู่ในเป้าหมายของเรา (โปรดทราบว่ามีเทคนิคที่จะเอาชนะสิ่งนี้ได้เช่นการสุ่ม quasi-Monte Carlo ซึ่งมีการประมาณแบบ quasi-Monte Carlo หลายตัวเพื่อประเมินข้อผิดพลาด)

• $\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$

• สำหรับ quasi-Monte Carlo เพื่อเอาชนะ Monte-Carlo แบบดั้งเดิมการผสานรวมจะต้องมี "มิติที่มีประสิทธิภาพต่ำ" ดูกระดาษอาร์ตโอเว่นในเรื่องนี้ที่นี่