คำตอบของสมการควอร์ติก

มีการใช้ C แบบเปิดสำหรับการแก้สมการควอร์ติกหรือไม่:

a x ⁴ + ข x ³ + ค x ² + d x + อี = 0

$ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0$

ฉันคิดว่าจะใช้งานโซลูชันของ Ferrari ในวิกิพีเดียฉันได้อ่านว่าวิธีการแก้ปัญหานั้นมีความเสถียรในการคำนวณสำหรับเครื่องหมายค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้บางส่วนเท่านั้น แต่บางทีฉันโชคดี ... ฉันมีวิธีแก้ปัญหาอย่างจริงจังโดยการวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์โดยใช้ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์และส่งออกไปยัง C แต่ถ้ามีการติดตั้งใช้งานที่ทดสอบแล้วฉันต้องการใช้สิ่งนี้ ฉันค้นหาวิธีที่รวดเร็วและไม่ต้องการใช้เครื่องมือค้นหารากทั่วไป

ฉันต้องการทางออกที่แท้จริงเท่านั้น

polynomials nonlinear-equations roots

— highsciguy
แหล่งที่มา

คุณต้องการโซลูชั่น (ของจริง) ทั้งหมดพร้อมกันหรือไม่? ดังที่ GertVdE กล่าวไว้ด้านล่างหากคุณมีปัญหาด้านความมั่นคงกับโซลูชันปิดแบบฟอร์มไม่มีเหตุผลที่ดีที่จะไม่ใช้อัลกอริทึมการค้นหารูท

— Godric Seer

ฉันคิดว่ามันตลกว่านี่เป็นแท็กที่ไม่ใช่เชิงเส้นพีชคณิตเนื่องจากคุณสามารถคำนวณค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ร่วมซึ่งอยู่ในรูปแบบของ Hessenberg แล้วการใช้ QR sweeps นั้นค่อนข้างง่าย

— Victor Liu

มีลักษณะที่ลูกบาศก์ / quartic แก้การตีพิมพ์ใน ACM TOMS (อัลกอริทึม 954) รหัสที่ทำให้เป็นวารสารนั้นมักจะมีคุณภาพสูงมาก กระดาษอยู่ด้านหลังของ paywall แต่สามารถดาวน์โหลดรหัสได้จากลิงค์นี้

— GoHokies

... (แก้ไขในภายหลัง) รหัส ACM เขียนด้วย FORTRAN 90 แต่ความประทับใจแรกของฉันคือสามารถเรียกจาก C โดยไม่ต้องใช้ความพยายามมาก

— GoHokies

@ Gookok ฉันคิดว่าคุณควรแปลงความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบเพราะฉันคิดว่ามันเป็นคำตอบที่ดีสำหรับคำถามนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อกระดาษที่เชื่อมโยงจัดการเพื่อหลีกเลี่ยงความไม่แน่นอนเชิงตัวเลขตามปกติและนั่นไม่ใช่เรื่องเล็กน้อยที่ต้องทำ

— คิริลล์

คำตอบ:

ฉันจะขอคำแนะนำอย่างยิ่งต่อการใช้โซลูชั่นแบบปิดเนื่องจากพวกเขามีแนวโน้มที่จะไม่เสถียรเชิงตัวเลขมาก คุณจำเป็นต้องใช้ความระมัดระวังเป็นอย่างมากในวิธีการและลำดับของการประเมินของตัวแปรและตัวแปรอื่น ๆ

ตัวอย่างคลาสสิกเป็นหนึ่งสำหรับสมการกำลังสอง 0 การคำนวณรากเป็นจะทำให้คุณมีปัญหากับชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำที่ตั้งแต่นั้นคุณจะถูกยกเลิกใน เศษ. คุณต้องคำนวณ{x_1} $ax^2+bx+c=0$

x_{1, 2} = \frac{- ข \pm \sqrt{ข^{2} - 4 a ค}}{2 a}

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

b ≫ 4 a c

$b\gg 4ac$

x_{1} = \frac{- (ข + s ผม ก. n (ข) \sqrt{ข^{2} - 4 a ค})}{2 a}; x_{2} = \frac{ค}{a} \frac{1}{x_{1}}

$x_1 = \frac{-(b+sign(b)\sqrt{b^2-4ac})}{2a}; x_2 = \frac{c}{a}\frac{1}{x_1}$

Higham ในผลงานชิ้นเอกของเขา "ความแม่นยำและความเสถียรของอัลกอริธึมเชิงตัวเลข" (2nd ed, SIAM) ใช้วิธีการค้นหาโดยตรงเพื่อค้นหาสัมประสิทธิ์ของพหุนามลูกบาศก์ซึ่งโซลูชันลูกบาศก์วิเคราะห์เชิงคลาสสิคให้ผลลัพธ์ที่ไม่แม่นยำมาก ตัวอย่างเช่นที่เขาให้เป็น1.2704] สำหรับพหุนามนี้รากนั้นแยกออกจากกันอย่างดีและด้วยเหตุนี้ปัญหาจึงไม่ได้มีเงื่อนไข อย่างไรก็ตามถ้าเขาคำนวณรูตโดยใช้วิธีการวิเคราะห์และประเมินพหุนามในรากเหล่านี้เขาจะได้รับเศษในขณะที่ใช้วิธีมาตรฐานที่เสถียร (เมทริกซ์สหาย) ส่วนที่เหลือมีคำสั่ง $[a,b,c] = [1.732, 1, 1.2704]$ $\mathcal{O}(10^{-2})$ $\mathcal{O}(10^{-15})$ . เขาเสนอการดัดแปลงอัลกอริทึมเล็กน้อย แต่ถึงอย่างนั้นเขาก็สามารถหาชุดของค่าสัมประสิทธิ์ที่นำไปสู่การตกค้างของซึ่งไม่ดีอย่างแน่นอน ดูหน้า p480-481 ของหนังสือที่กล่าวถึงข้างต้น $\mathcal{O}(10^{-11})$

ในกรณีของคุณผมจะใช้วิธีการ Bairstow ของ มันใช้การวนซ้ำของนิวตันซ้ำในรูปแบบสมการกำลังสอง (จากนั้นรากของสมการกำลังสองจะถูกแก้ไข) และภาวะเงินฝืด มันใช้งานได้ง่ายและมีแม้กระทั่งการใช้งานบางอย่างบนเว็บ

— GertVdE
แหล่งที่มา

คุณช่วยอธิบายความหมายของคำว่า "ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งต่อการใช้โซลูชั่นแบบปิดเนื่องจากพวกเขามีแนวโน้มที่จะมีความไม่แน่นอนเชิงตัวเลข" สิ่งนี้ใช้กับพหุนามระดับ 4 เท่านั้นหรือเป็นกฎทั่วไปหรือไม่?

— NoChance

@EmmadKareem ฉันได้อัปเดตคำตอบของฉันด้านบนแล้ว

— GertVdE

ดูเหล่านี้:

การแก้ Quartics และ Cubics สำหรับกราฟิกสร้างสรรค์ที่ตีพิมพ์ในกราฟิกอัญมณี V รหัสเดิมคือที่นี่ ดูเพิ่มเติมนี้และนี้
วิธีสากลของการแก้สมการ Quartic

— LHF
แหล่งที่มา

x_{1} = - 1.602644912244132 e + 00

$x_1 = -1.602644912244132e+00$

O (10^{- 8})

$\mathcal{O}(10^{-8})$

O (10^{- 7})

$\mathcal{O}(10^{-7})$

O (10^{- 15})

$\mathcal{O}(10^{-15})$ . ขึ้นอยู่กับคุณไม่ว่าจะเป็นที่ดีพอ (สำหรับคอมพิวเตอร์กราฟิกมันอาจจะเป็นสำหรับการใช้งานอื่น ๆ บางมันจะไม่เป็น)

— GertVdE

สูตรตัวเลขใน c แสดงนิพจน์แบบปิดสำหรับรากแท้ของกำลังสองและลูกบาศก์ซึ่งสันนิษฐานว่ามีความแม่นยำที่เหมาะสม เนื่องจากวิธีแก้ปัญหาพีชคณิตของควอร์ติคนั้นเกี่ยวข้องกับการแก้ลูกบาศก์และจากนั้นการแก้ควอดติกสองแบบอาจจะเป็นรูปแบบปิดควอร์ตที่มีความแม่นยำที่ดีไม่ใช่คำถาม

— Nemocopperfield
แหล่งที่มา

ฉันได้รูทของตัวอย่างลูกบาศก์ที่อ้างถึงภายใน 2e-16 (ตาดความแม่นยำของโฟลทของฉัน) โดยใช้สูตรตัวเลขในสูตรลูกบาศก์ (กด et al) สูตรลูกบาศก์ ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะหวัง

— Nemocopperfield