อัลกอริทึมสำหรับระบบเชิงเส้นของ ODE

ฉันสงสัยว่า: อัลกอริทึมที่ดีที่สุดในการแก้ โดยที่คือเมทริกซ์จริง A ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจนโดยทั่วไปกระจัดกระจาย แต่ไม่จำเป็นต้องมีแถบสี ค่าลักษณะเฉพาะของมันมีชิ้นส่วนจริงที่ไม่เป็นบวก A นั้นเป็นเส้นทแยงมุม แต่อาจมีขนาดใหญ่เกินไปที่จะทำให้เส้นทแยงมุมเต็มประสิทธิภาพ

\frac{d u}{d t} = A u

$\begin{equation} \frac{du}{dt} = Au \end{equation}$

A

$A$

n \times n

$n\times n$

มีกฎสี่เหลี่ยมคางหมูโดยนัยซึ่งฉันมีประสบการณ์ที่ดี

(I - \frac{Δ t}{2} A) u_{n + 1} = (I + \frac{Δ t}{2} A) u_{n}

$\begin{equation} \left(I-\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n+1} = \left(I+\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n} \end{equation}$

วิธีการที่ชัดเจนหรือประมาณ Pade? นอกจากนี้จะมีการเปลี่ยนแปลงอย่างไรถ้ามีการเพิ่มคำที่บังคับให้กับ RHS

linear-algebra ode

— Gabriel Landi
แหล่งที่มา

เราต้องการข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ A. จริงๆขึ้นอยู่กับตำแหน่งของค่าลักษณะเฉพาะความเสถียรอาจเป็นปัญหาที่ส่งผลต่อการเลือกระหว่างวิธีที่ชัดเจนหรือโดยนัย มันเป็นเรื่องสำคัญที่คุณต้องการและไม่ว่า A จะแตกต่างกันตามเวลา / กับคุณว่าคุณต้องการตัวแก้ที่แข็งหรือไม่ มีข้อมูลไม่เพียงพอที่จะตอบคำถาม

— Godric Seer

@GodricSeer ขอบคุณ Godric ฉันได้เพิ่มสมมติฐานบางอย่างเกี่ยวกับ

A

$A$

— Gabriel Landi

@GabrielLandi คุณจะต้องเพิ่มข้อมูลมากกว่านั้นเพื่อรับคำตอบเฉพาะ ใหญ่แค่ไหน? คือปกติ? มีลักษณะเฉพาะของจริงจินตนาการหรือซับซ้อน? มีขนาดใหญ่เท่าใดและใหญ่ที่สุด?

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— David Ketcheson

เมื่อเมทริกซ์ของคุณไม่ขึ้นกับผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์เลขชี้กำลังคูณเวกเตอร์อินทราล การอภิปรายมาตรฐานของวิธีการที่เกี่ยวข้องสามารถพบได้จากhttp://scholar.google.atโดยค้นหา '' วิธีที่น่าสงสัยสิบเก้า '' $u$

สำหรับอัลกอริทึมการปรับขนาดและกำลังสอง (อันที่น่าสงสัยน้อยที่สุด) ดูที่ http://blogs.mathworks.com/cleve/2012/07/23/a-balancing-act-for-the-matrix-exponential/

— อาร์โนลด์ Neumaier
แหล่งที่มา