กำหนดเงื่อนไขการทำงานร่วมกันสำหรับวิธีไฟไนต์องค์ประกอบผสมในสมการสโตกส์

13

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ สมมติว่าเรามีสมการโมเดล Stokes flow ดังนี้

ที่มีความหนืดเป็นฟังก์ชั่นสำหรับมาตรฐานองค์ประกอบ จำกัด ผสมบอกว่าเราใช้คู่เสถียรภาพ: Crouzeix-Raviart พื้นที่สำหรับความเร็วและองค์ประกอบที่ชาญฉลาดอย่างต่อเนื่องพื้นที่สำหรับความดัน, เรามีรูปแบบที่หลากหลายดังต่อไปนี้:

{\begin{aligned} - d i v (ν \nabla u) + \nabla p & = f \\ d i v u & = 0 \end{aligned}

$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$

ν (x)

$\nu(x)$

V_{h}

$\v{V}_h$

u

$\v{u}$

S_{h}

$S_h$

p

$p$

L ([u, p], [v, q]) = \int_{Ω} ν \nabla u : \nabla v - \int_{Ω} q d i v u - \int_{Ω} p d i v v = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

และเรารู้ว่าเนื่องจากตัวคูณลากรองจ์สามารถหาค่าได้คงที่เมทริกซ์ที่ประกอบในที่สุดควรมีnullspace เพื่อหลีกเลี่ยงสิ่งนี้เราสามารถบังคับความดันในองค์ประกอบบางอย่างให้เป็นศูนย์ได้ดังนั้นเราจึงไม่ต้อง แก้ปัญหาระบบเอกพจน์ $p$ $1$ $p$

ดังนั้นนี่คือคำถามของฉัน 1:

(Q1) มีวิธีอื่นนอกเหนือจากการบังคับใช้ในองค์ประกอบบางอย่างเพื่อกำจัดเคอร์เนลสำหรับองค์ประกอบ จำกัด แบบผสมหรือไม่? หรือพูดแก้ปัญหาใด ๆ ที่สามารถแก้ปัญหาระบบเอกพจน์เพื่อให้ได้โซลูชั่นที่เข้ากันได้หรือไม่ (หรือการอ้างอิงบางอย่างยินดีต้อนรับ) $p=0$

และเกี่ยวกับความเข้ากันได้สำหรับ (1) มันควรจะเป็น และเคล็ดลับความสุขเล็ก ๆ น้อย ๆ ในการคำนวณเป็นที่เราได้จากการแก้ปัญหาของระบบเชิงเส้นหักโดยถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของ:

\int_{Ω} ν^{- 1} p = 0

$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$

\tilde{p}

$\tilde{p}$

p

$p$

\begin{matrix} (2) & \tilde{p} = p - \frac{ν}{| Ω |} \int_{Ω} ν^{- 1} p \end{matrix}

$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$

อย่างไรก็ตามเมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันเพิ่งใช้องค์ประกอบ จำกัด มีความเสถียรสำหรับสมการสโตกส์โดย Bochev, Dohrmann และ Gunzberger $P_1-P_0$ ซึ่งพวกเขาได้เพิ่มคำที่มีความเสถียรให้กับสูตรการแปรผัน (1): โดยที่คือการฉายภาพจากพื้นที่คงที่แบบต่อเนื่องไปจนถึงต่อเนื่องส่วน ,และค่าคงที่เคอร์เนลขององค์ประกอบ จำกัด ดั้งเดิมดั้งเดิมหายไปอย่างไรก็ตามสิ่งประหลาดเกิดขึ้น (2) ไม่ทำงานอีกต่อไปฉันสร้างปัญหาการทดสอบจากปัญหาส่วนต่อประสานสำหรับสมการการกระจายนี่คือสิ่งที่ฉันได้รับจากแรงดันหนึ่งอันที่ถูกต้องคือคำตอบที่แท้จริงและที่เหลือคือการประมาณเชิงตัวเลข:

\tilde{L} ([u, p], [v, q]) = L ([u, p], [v, q]) - \int_{Ω} (p - Π_{1} p) (q - Π_{1} q) = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

Π_{1}

$\Pi_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

p

$p$

ทดสอบ Stokes 1

อย่างไรก็ตามถ้าเป็นค่าคงที่ปัญหาการทดสอบจะทำงานได้ดี: $\nu$ ทดสอบ Stokes 2

ฉันเดาว่ามันเป็นเพราะวิธีที่ฉันกำหนดเงื่อนไขความเข้ากันได้เนื่องจากมันเชื่อมโยงกับความเสถียรของระบบทั้งหมดนี่คือคำถามที่สองของฉัน:

$p$ $p$

finite-element

— Shuhao Cao
แหล่งที่มา

MathML ไม่ทำงานเหรอ

— Shuhao Cao

เราใช้ MathJaX ใน StackExchange ทุกอย่างที่คุณโพสต์นั้นปรากฏขึ้นอย่างสวยงามขอบคุณสำหรับคำถามโดยละเอียด

— Aron Ahmadia

8

$\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$ $\partial \Omega$

$\nabla p$ $\nabla (p + c)$ $c$ $p$ $c$ $\overline{p}=p_\mathrm{ref}$ $p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$ $Bp$ $\nabla p$ $B$

$p$

ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำสำหรับแก้ไขปัญหาของคุณ:

$\nu$ $x$
เขตข้อมูลความเร็วของคุณเป็นไปตามข้อ จำกัด ด้านความเข้ากันได้หรือไม่
$p$ $p-p_\mathrm{exact}$
$B$

— คริส
แหล่งที่มา

2

สำหรับ (Q1) คุณสามารถเลือกตัวแก้ปัญหาสำหรับจุดอานที่คำนวณวิธีกำลังสองน้อยที่สุดสำหรับระบบของคุณ จากนั้นสามารถกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมในตัวคูณได้เช่นการกำหนดระดับความเป็นอิสระที่เฉพาะเจาะจงกำลังกำหนดค่าเฉลี่ยเฉพาะ

โดยทั่วไปแล้วฉันคิดว่าคำตอบนี้ (Q1) คุณอาจใช้ข้อ จำกัด เชิงเส้นที่สามารถแยกค่าคงที่ต่างกันได้

ข้อ จำกัด นี้อาจกำหนดไว้ในขั้นตอนหลังการประมวลผลหรือโดยตัวเลือกที่เหมาะสมของพื้นที่ทดลองใช้ (เช่นหากคุณออกจากระดับหนึ่งของเสรีภาพ)

— shuhalo
แหล่งที่มา