ตัวอย่างที่ดีของ“ สองง่ายง่ายสามยาก” ในวิทยาศาสตร์การคำนวณ

ฉันเพิ่งพบสูตรของปรากฏการณ์เมตา : " สองเป็นเรื่องง่ายสามเป็นเรื่องยาก " (เขียนโดย Federico Poloni ด้วยวิธีนี้) ซึ่งสามารถอธิบายได้ดังนี้:

เมื่อปัญหาบางอย่างถูกกำหนดขึ้นสำหรับสองหน่วยงานมันค่อนข้างง่ายที่จะแก้ปัญหา อย่างไรก็ตามอัลกอริทึมสำหรับการเพิ่มขึ้นของเอนทิตีที่สามในความยากลำบากอย่างมากอาจเป็นไปได้ว่าการแก้ปัญหาที่ไม่เป็นไปได้หรือไม่สามารถทำได้

_{(ฉันยินดีรับข้อเสนอแนะเพื่อทำให้ข้อความที่สวยงามกระชับและถูกต้องมากขึ้น)}

มีตัวอย่างที่ดีอะไรบ้างในสาขาวิทยาศาสตร์การคำนวณต่าง ๆ (เริ่มจากพีชคณิตเชิงเส้นตรงและจบลงด้วยฟิสิกส์การคำนวณแบบครอบคลุม) คุณรู้หรือไม่?

ตัวอย่างหนึ่งที่ปรากฏในหลายพื้นที่ของฟิสิกส์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งกลศาสตร์คลาสสิกและฟิสิกส์ควอนตัมเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นกับร่างกายสองคน ปัญหาสองตัวที่นี่หมายถึงงานในการคำนวณพลวัตของอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์สองชนิดซึ่งตัวอย่างเช่นปฏิสัมพันธ์โดยแรงโน้มถ่วงหรือแรงคูลอมบ์ วิธีแก้ปัญหานี้มักจะพบในรูปแบบปิดโดยการแปลงตัวแปรเป็นพิกัดกึ่งกลางของมวลและพิกัดสัมพัทธ์

แต่ทันทีที่คุณพิจารณาสามอนุภาคโดยทั่วไปไม่มีปิดรูปแบบการแก้ปัญหาที่มีอยู่

ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงคือปัญหาความน่าเชื่อถือของบูลีน (SAT) 2-SAT นั้นไม่ซับซ้อนในการแก้ในเวลาพหุนาม แต่ 3-SAT นั้นสมบูรณ์แบบ

ในมิติหนึ่งและสองถนนทุกสายนำไปสู่กรุงโรม แต่ไม่ใช่ในสามมิติ

โดยเฉพาะให้สุ่มเดิน (มีแนวโน้มที่จะเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดก็ได้) บนจำนวนเต็มในหนึ่งหรือสองมิติจากนั้นไม่ว่าจะเป็นจุดเริ่มต้นด้วยความน่าจะเป็นที่หนึ่ง (หรือที่รู้จักกันว่าเกือบจะแน่นอน) ในที่สุด จุด ("โรม")

อย่างไรก็ตามสำหรับสามมิติขึ้นไปความน่าจะเป็นที่จะได้รับ "โรม" น้อยกว่าหนึ่ง ด้วยความน่าจะลดลงเมื่อจำนวนมิติเพิ่มขึ้น

ตัวอย่างเช่นหากทำการจำลองแบบสุ่ม (Monte Carlo) ของการเดินแบบสุ่มเริ่มต้นที่ "โรม" ซึ่งจะหยุดเมื่อโรมกลับมาจากนั้นในมิติหนึ่งและสองคุณสามารถมั่นใจได้ว่าในที่สุดทำให้มันกลับไปโรม และหยุดการจำลอง - ง่ายมาก ในสามมิติคุณอาจไม่สามารถย้อนกลับได้ยาก

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk#Higher_dimensions

เพื่อให้เห็นภาพของกรณีสองมิติเราสามารถจินตนาการถึงคนที่เดินสุ่มรอบเมือง เมืองนี้ไม่มีที่สิ้นสุดอย่างมีประสิทธิภาพและจัดวางในตารางสี่เหลี่ยมของทางเท้า ทุกสี่แยกคนสุ่มเลือกหนึ่งในสี่เส้นทางที่เป็นไปได้ (รวมถึงเส้นทางแรกที่เดินทางจาก) อย่างเป็นทางการนี่คือการเดินแบบสุ่มบนชุดของจุดทั้งหมดในเครื่องบินด้วยพิกัดจำนวนเต็ม

บุคคลนั้นจะกลับไปที่จุดเริ่มต้นดั้งเดิมของการเดินหรือไม่? นี่คือการเทียบเท่าระดับ 2 มิติของปัญหาการข้ามระดับที่กล่าวถึงข้างต้น ในปีพ. ศ. 2464 George Pólyaพิสูจน์ว่าบุคคลนั้นเกือบจะอยู่ในการเดินสุ่มแบบ 2 มิติ แต่สำหรับ 3 มิติหรือสูงกว่าความน่าจะเป็นที่จะกลับไปยังแหล่งกำเนิดลดลงเมื่อจำนวนมิติเพิ่มขึ้น ใน 3 มิติความน่าจะเป็นลดลงเป็นประมาณ 34%

ดูhttp://mathworld.wolfram.com/PolyasRandomWalkConstants.htmlสำหรับค่าตัวเลข

นี่คือหนึ่งใกล้กับหัวใจของผู้มีส่วนร่วมที่ SciComp.SE:

ดำรงอยู่ Navier-Stokes และเรียบเนียนปัญหา

แน่นอนว่าเวอร์ชั่นสามมิตินั้นเป็นปัญหาเปิดที่มีชื่อเสียงและเป็นเรื่องของรางวัล Mill Millium มูลค่าหลายล้านดอลลาร์ แต่รุ่นสองมิติได้รับการแก้ไขแล้วเมื่อนานมาแล้วพร้อมคำตอบยืนยัน เทอร์รี่เทาตั้งข้อสังเกตว่าวิธีการแก้ปัญหาวันที่กลับไปเป็นวิทยานิพนธ์ของ Leray ในปี 1933!

เหตุใดปัญหาสามมิติจึงแก้ยากกว่านี้มาก การตอบสนองที่เป็นคลื่นมาตรฐานด้วยมือคือความปั่นป่วนไม่เสถียรในสามมิติมากกว่าสองมิติ สำหรับคำตอบที่เข้มงวดมากขึ้นในทางคณิตศาสตร์ให้ตรวจสอบงบปัญหาชาร์ลส์ Fefferman อย่างเป็นทางการในดินสถาบันหรือการแสดงออกที่ดีเทอร์รี่เต่าในกลยุทธ์หลักฐานที่เป็นไปได้

ในทฤษฎีทางเลือกทางสังคมการออกแบบรูปแบบการเลือกตั้งที่มีผู้สมัครสองคนนั้นเป็นเรื่องง่าย (กฎส่วนใหญ่) แต่การออกแบบรูปแบบการเลือกตั้งที่มีผู้สมัครสามคนขึ้นไปจำเป็นต้องเกี่ยวข้องกับการแลกเปลี่ยนระหว่างเงื่อนไขที่สมเหตุสมผล ( ทฤษฎีบทของลูกศรที่เป็นไปไม่ได้ )

การทำให้ทแยงมุมพร้อมกันสองเมทริกซ์$A_1$และ$A_2$ :

อย่างไรก็ตามเมื่อต้องการลดเมทริกซ์สามตัวไปเป็นรูปแบบบัญญัติพร้อมกัน (เงื่อนไขที่อ่อนแอกว่าเมื่อเทียบกับด้านบน) จำเป็นต้องมี:

แอปพลิเคชันที่ใช้งานได้จริงจะเป็นทางออกสำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะกำลังสอง:

ที่มา: CF van Loan "การบรรยายครั้งที่ 6: การสลายตัวของค่าเอกพจน์ทั่วไปที่สูงกว่า" โรงเรียนภาคฤดูร้อน CIME-EMS, Cetraro, อิตาลี, มิถุนายน 2015

มีตัวอย่างมากมายในการคำนวณควอนตัมแม้ว่าฉันจะไม่ได้ใช้เวลาซักพักและจำไม่ได้ สิ่งสำคัญอย่างหนึ่งคือการพัวพันของสองฝ่าย (พัวพันระหว่างสองระบบ) นั้นค่อนข้างง่ายในขณะที่การพัวพันระหว่างระบบสามระบบขึ้นไปนั้นเป็นสิ่งที่ยังไม่ได้แก้ไขซึ่งอาจจะเป็นงานเขียนร้อยบทความ

รากของสิ่งนี้คือเมตริกซ์อันดับที่ 2 (เช่นเมทริกซ์) สามารถวิเคราะห์ผ่านการสลายตัวของค่าเอกพจน์ ไม่มีอะไรที่คล้ายคลึงกันสำหรับเทนเซอร์อันดับ 3 หรือสูงกว่า ในความเป็นจริงแม้สิ่งที่ง่ายเป็น$\max\left(u_a v_b w_c T^{abc} / \left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert \left\lVert w \right\rVert \right)$ (ย่อย / ยก denoting Einstein บวก) คือ IIRC ไม่เชื่อว่าจะแก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพ .

บทความนี้ดูเหมือนว่าจะมีความเกี่ยวข้องแม้ว่าฉันจะไม่ได้อ่าน: ปัญหาเมตริกซ์ส่วนใหญ่เป็นปัญหาแบบ NP-hard

การแบ่งมุมแบบมีระนาบและเข็มทิศนั้นง่ายการตัดมุมเป็นเรื่องที่เป็นไปไม่ได้ทั่วไป

Type inference for Rank-n types. Type inference for Rank-2 is not especially difficult, but type inference for Rank-3 or above is undecidable.

Here's a neat one from optimization: the Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) algorithm.

Given an uncoupled and convex objective function of two variables (the variables themselves could be vectors) and a linear constraint coupling the two variables:

The Augmented Lagrangian function for this optimization problem would then be

The ADMM algorithm roughly works by performing a "Gauss-Seidel" splitting on the augmented Lagrangian function for this optimization problem by minimizing $L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$ first with respect to $x_1$ (while $x_2, \lambda$ remain fixed), then by minimizing $L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$ with respect to $x_2$ (while $x_1, \lambda$ remain fixed), then by updating $\lambda$. This cycle goes on until a stopping criterion is reached.

(Note: some researchers such as Eckstein discard the Gauss-Siedel splitting view in favor of proximal operators, for example see http://rutcor.rutgers.edu/pub/rrr/reports2012/32_2012.pdf )

For convex problems, this algorithm has been proven to converge - for two sets of variables. This is not the case for three variables. For example, the optimization problem

Even if all the $f$ are convex, the ADMM-like approach (minimizing the Augmented Lagrangian with respect to each variable $x_i$, then updating the dual variable $\lambda$) is NOT guaranteed to converge, as was shown in this paper.

https://web.stanford.edu/~yyye/ADMM-final.pdf

Folding a piece of paper in half without tools is easy. Folding it into thirds is hard.

Factoring a polynomial with two roots is easy. Factoring a polynomial with three roots is significantly more complicated.

A smooth curve of degree 2 (i.e. given as the solution of $f(x,y) = 0$ where $f$ is a polynomial of degree 2) with a given point is rational, meaning that it can be parameterized by quotients of polynomials, of degree 3 it isn't. The former are considered well understood, the latter, called elliptic curves when a base point, i.e. a specific solution, is singled out, are the object of intense research.

This difference has several implications:

• In degree 2 there are algorithms to find all rational points (solutions in rational numbers), in degree 3 no such algorithm is known.
• Integrals involving $\sqrt{f(x)}$ with $f$ of degree 1 or 2 have solutions in elementary functions, but not for $f$ of degree 3 or higher.
• The discrete logarithm problem is tractable on curves of degree 2, hence not suitable for cryptographic applications, whereas the assumed hardness of the same problem on elliptic curves is at the basis of some of the most popular public key cryptosystems.

The TREE function.

We can calculate TREE(2) = 3, but TREE(3) is not calculable in the universe lifetime, we only know that it is finite.

In a two-dimensional space, you can introduce complex structure, which can be used to elegantly solve many problems (e.g. potential flow problems), but no analogue exists in 3 dimensions.

In quantum many-body physics, we study different lattices of n spins in the framework of different models (e.g. Heisenberg model, Bose-Hubbard model, Ising model, ...). You have of course different numerical methods to study them (DMRG, exact diagonalization, neural networks, ...) and one of the reasons we try to develop different methods is because you can't solve these models when n becomes too "high", and it is of course worse if you study in higher dimensions. For example, for the Ising Model, exact diagonalisation works well in 1d for n not higher than 20. So, for higher n, you try another method : DMRG. But these latter works well indeed for higher n (like n = 70 but not well for higher n). Again, you want another method for higher n : neural networks (i.e. artificial intelligence). And in addition with neural networks, you can study "more easily" (i.e. whith relatively higher n) these models in higher dimensions (but for dimension = 3 and small n, for example, it still takes a lot of hours (several days) to obtain the ground state or the observable you wanted ...). Bref, when n becomes "too high" for your numerical methods (but also the capacity of your computer) you need to perform new methods (and if you can, use a super computer) and it is the same problem with the dimension of your system but worse of course as you are rapidly stuck (dimension = 4 is difficult to obtain except if you wait a lot of time ...).
แน่นอนที่นี่เป็นข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับคำถามของคุณเพราะจริง ๆ แล้วในควอนตัมฟิสิกส์หลายตัว n = 3 ไม่สูง (แต่ถ้าคุณใช้โครงข่ายซึ่งเป็น hypercube คุณไม่สามารถใช้ n = 3 ของ แน่นอน (เนื่องจากเงื่อนไข))

โลกแห่งความจริง:

Automation% - เช่นมันง่ายที่จะทำให้บางสิ่งอัตโนมัติใน 30% หรือ 50% หรือ 80% ในขณะเดียวกันก็ยากที่จะไปเช่นสูงกว่า 95% และยากอย่างเหลือเชื่อหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะเข้าถึงเกือบ 100%