ในทางคณิตศาสตร์เหตุใดเวกเตอร์จำนวนมาก / โหลดเวคเตอร์จะทำงานอย่างไร

ฉันรู้ว่าผู้คนมักจะแทนที่เมทริกซ์มวลสม่ำเสมอด้วยเมทริกซ์แนวทแยง ในอดีตฉันยังได้ติดตั้งโค้ดที่โหลดเวคเตอร์นั้นประกอบกันเป็นก้อนแทนที่จะเป็นแบบ FEM ที่สอดคล้องกัน แต่ฉันไม่เคยตรวจสอบสาเหตุที่เราได้รับอนุญาตให้ทำตั้งแต่แรก

สัญชาตญาณหลังการจับก้อนก้อนที่อนุญาตให้ใช้กับมวลและโหลดเวกเตอร์คืออะไร การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์สำหรับมันคืออะไร? ในกรณีใดบ้างที่ไม่ได้รับอนุญาตให้ใช้ก้อน / ไม่เหมาะสำหรับมวลและโหลดเวกเตอร์?

ในวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์รายการเมทริกซ์และรายการด้านขวามือจะถูกกำหนดเป็นอินทิกรัล โดยทั่วไปแล้วเราไม่สามารถคำนวณสิ่งเหล่านี้อย่างแน่นอนและใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่มีสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสมากมายที่เราสามารถเลือกได้และมักจะเลือกพวกเขาในทางที่ (i) ข้อผิดพลาดที่แนะนำโดยการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีลำดับเดียวกันกับที่เกิดจากการแยกแยะหรืออย่างน้อยก็ไม่เลวร้ายยิ่งและ (ii) เมทริกซ์มีคุณสมบัติบางอย่างที่เปิดออกเพื่อความสะดวก

ก้อนมวลเป็นตัวอย่างของการทำงานนี้: หากเราเลือกสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยเฉพาะ (กล่าวคืออันที่มีจุดพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสตั้งอยู่ที่จุดการแก้ไขขององค์ประกอบ จำกัด ) ดังนั้นเมทริกซ์มวลที่เกิดขึ้นจะเป็นเส้นทแยงมุม ค่อนข้างสะดวกสำหรับการใช้งานการคำนวณและเหตุผลที่ผู้คนใช้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเหล่านี้ นอกจากนี้ยังเป็นสาเหตุที่ทำให้ "ใช้งานได้": ตัวเลือกเฉพาะของสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสยังคงมีลำดับที่สูงพอสมควร

เมทริกซ์แนวทแยงมีข้อดีที่เห็นได้ชัดในการเร่งการคำนวณเชิงตัวเลขและคำตอบของ Wolfgang Bangerth เป็นคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับวิธีการคำนวณเมทริกซ์มวลในแนวทแยง แต่มันไม่ได้ตอบคำถามของ OP "ทำไมงานนี้" ในแง่ของ "ทำไม มันเป็นการประมาณที่ดีสำหรับฟิสิกส์ที่คุณกำลังสร้างโมเดล "

ในเชิงแนวคิดคุณสามารถแยกการตอบสนองขององค์ประกอบออกเป็นสามส่วน: การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งการหมุนอย่างเข้มงวดเกี่ยวกับศูนย์กลางธาตุของมวลและการเสียรูปของธาตุ

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

ดังนั้นคุณต้องใช้การประมาณ "ดี" กับส่วนที่แข็งกระด้างของการเคลื่อนไหวเช่น 6 DOF และอันที่จริงการประมาณที่ดีสำหรับ KE เท่านั้นจากการแปลเนื้อความแข็งเช่น 3 DOF จะรวมกันเป็นขนาดองค์ประกอบ ที่ลดลง.

ข้อกำหนดในแนวทแยงของเมทริกซ์องค์ประกอบมีพารามิเตอร์อิสระมากกว่าเพียงพอที่จะแสดงถึงคำศัพท์ 3 หรือ 6 KE ที่มีความแม่นยำเพียงพอ ในความเป็นจริงสำหรับองค์ประกอบการสั่งซื้อที่สูงขึ้นคุณสามารถใช้เมทริกซ์มวลแบบทแยงมุมมวลโดยที่เส้นทแยงมุมสำหรับโหนดกลางด้านเป็นศูนย์

โปรดทราบว่านี่เป็นสถานการณ์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากพลังงานศักย์องค์ประกอบซึ่งการมีส่วนร่วมจากการแปลและการหมุนของวัตถุแข็งตัวเป็นศูนย์และสิ่งเดียวที่สำคัญคือการแทนพลังงานความเครียดที่สอดคล้องกับการเสียรูปขององค์ประกอบ เมทริกซ์ความแข็งในแนวทแยงจึงไม่น่าจะเป็นความคิดที่เป็นไปได้!

นอกเหนือจากคำตอบอื่น ๆ แล้วยังมีสถานการณ์ที่ข้อผิดพลาดในเมทริกซ์มวลไม่มีผลต่อผลลัพธ์ที่ต้องการ

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1แม้ว่าการให้เหตุผลเกี่ยวกับพฤติกรรมทางกายภาพแบบไดนามิกนั้นแน่นอนได้ง่ายขึ้นด้วยเมทริกซ์มวลที่ "ถูกต้อง" - เช่นโมเมนตัมเชิงมุมอาจได้รับการอนุรักษ์อย่างไม่ถูกต้องโดยเมทริกซ์มวล}