วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับ RS ODE ที่ไม่ต่อเนื่อง

อะไรคือวิธีการที่ทันสมัยสำหรับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของ ODE ที่มีด้านขวาไม่ต่อเนื่อง? ฉันสนใจฟังก์ชั่นด้านขวาแบบต่อเนื่องเช่นสัญญาณ

ฉันพยายามที่จะแก้สมการประเภทต่อไปนี้:

\begin{aligned} \dot{x} & = โวลต์ \\ \dot{โวลต์} & = {\begin{cases} (| F_{ภายนอก} | - | F_{แรงเสียดทาน} |) สัญญาณ (F_{ภายนอก}) & : | F_{ภายนอก} | < | F_{แรงเสียดทาน} | \\ 0 & : มิฉะนั้น \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \dot x &= v\\ \dot v &= \begin{cases} (|F_\text{external}| - |F_\text{friction}|) \mathop{\rm sign} (F_\text{external}) & :|F_\text{external}| < |F_\text{friction}|\\ 0 & : \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$

ode

— Andrey Shevlyakov
แหล่งที่มา

สวัสดี @AndreyShevlyakov และยินดีต้อนรับสู่ Scicomp! มี ODE คลาสหนึ่งที่คุณสนใจหรือไม่?

— พอล

สวัสดีพอล! ใช่ฉันกำลังพยายามใช้โมเดลแรงเสียดทานติดลื่น

— Andrey Shevlyakov

คุณสามารถรวมสมการที่คุณต้องการแก้ในคำถามของคุณ? วิธีนี้จะช่วย จำกัด วิธีการเฉพาะที่เหมาะสมกับปัญหาของคุณ

— พอล

ฉันได้เพิ่มตัวอย่างในโพสต์

— Andrey Shevlyakov

เมื่อฉันทำงานกับ ACSL มันรวมเครื่องมือค้นหารูทดังนั้นคุณสามารถค้นหาเวลาที่ความเร็วเท่ากับศูนย์แล้วเริ่มต้นใหม่จากจุดนั้นด้วย rhs ใหม่

— Mike Dunlavey

คำตอบ:

ดูเดวิดสจ๊วตใหม่ (2011) หนังสือ 's ในหัวข้อนี้Dynamics กับอสมการ: ผลกระทบและข้อ จำกัด ของฮาร์ด ปัญหาแรงเสียดทานของคูลอมบ์ถูกกล่าวถึงหลายครั้งในบทวิเคราะห์

บทที่ 8 อุทิศให้กับวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับ ODE และ DAE ที่ไม่ราบรื่น ส่วนใหญ่จะสนับสนุนวิธีการ Runge-Kutta อย่างชัดเจนด้วยการดูแลเป็นพิเศษจากความไม่ชำนาญ หมายเหตุส่วน 8.4.4 ซึ่งชี้ให้เห็นว่าหากคุณค้นหาตำแหน่งของความไม่ราบรื่นได้อย่างแม่นยำวิธีการทั้งหมดจะลดลงตามลำดับความถูกต้องอันดับแรกดังนั้นออยเลอร์โดยปริยาย นอกจากแก้ปัญหาเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันไม่มีที่สิ้นสุดมิติมักจะไม่ค่เรียบดังนั้นทฤษฎีที่ให้เพียงการบรรจบกัน แต่ในทางปฏิบัติ $\mathcal{O}(h)$ $\mathcal{O}(h^{1/2})$ $\mathcal{O}(h)$ มักสังเกต

— เจดบราวน์
แหล่งที่มา

เยี่ยมมากขอบคุณ! คุณรู้หรือไม่ว่ามีการใช้งานที่ใดที่หนึ่ง?

— Andrey Shevlyakov

ไม่ใช่ที่ฉันรู้ แต่การใช้โครงร่างอย่างง่ายไม่ควรยากเกินไปหากคุณมีตัวแก้ปัญหาสำหรับความไม่เท่าเทียมกันแบบคงที่

— Jed Brown

การอ้างอิงที่สำคัญที่สุดที่ฉันรู้คือวิทยานิพนธ์ของ David Stewart ซึ่งมีอายุมากกว่า 20 ปี:

วิธีเชิงตัวเลขที่มีความแม่นยำสูงสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญกับทางขวามือที่ไม่ต่อเนื่อง

บทคัดย่ออ้างอิงผลงานก่อนหน้านี้ที่สำคัญหลายประการ คำหลักที่นี่คือการรวมค่า

— เดวิดเคตเชสัน
แหล่งที่มา

$g(t, x(t)) \in \mathbb{R}$ $>0$ $<0$

ตัวอย่างเช่นถ้าคุณมีมวลที่เคลื่อนที่ด้วยบล็อกแล้วระยะห่างระหว่างมวลและบล็อกนั้นสามารถใช้เป็นฟังก์ชันข้ามศูนย์ได้

ตัวแก้ ODE หลายตัว (เช่น SUNDIALS CVODE) จะตรวจสอบโดยอัตโนมัติว่าฟังก์ชันการข้ามศูนย์ใด ๆ เปลี่ยนเครื่องหมายในระหว่างขั้นตอนสุดท้ายหรือไม่ หากเป็นกรณีนี้จะใช้วิธีการค้นหารูทเพื่อกำหนดตำแหน่งที่แน่นอนของรูท จากนั้นตัวแก้ปัญหาสามารถเริ่มต้นใหม่ในตำแหน่งนั้นได้ สิ่งนี้สามารถทำได้โดยอัตโนมัติโดยผู้แก้ไขเองหรือด้วยตนเองโดยใช้รหัสการโทร

— Florian Brucker
แหล่งที่มา

สำหรับวัตถุประสงค์ในการค้นหา: ใคร ๆ ก็สามารถพูดถึง "สถานที่จัดงาน"; Hairer / Nørsett / Wannerมีการสนทนาที่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้

— JM