ทำไมการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของ ODE จึงย้ายออกจากสมดุลที่ไม่เสถียร?

15

ฉันต้องการจำลองพฤติกรรมของระบบลูกตุ้มแบบสองเท่า ระบบนี้เป็นหุ่นยนต์หุ่นยนต์ 2 องศาอิสระที่ไม่ได้ถูกกระตุ้นและจะทำตัวเป็นเหมือนลูกตุ้มสองเท่าที่ได้รับผลกระทบจากแรงโน้มถ่วง ข้อแตกต่างที่สำคัญเพียงอย่างเดียวกับลูกตุ้มคู่คือประกอบด้วยวัตถุแข็งสองตัวที่มีคุณสมบัติมวลและความเฉื่อยที่จุดศูนย์กลางมวล

โดยทั่วไปฉันตั้งโปรแกรมode45ภายใต้ Matlab เพื่อแก้ปัญหาระบบ ODE ของประเภทต่อไปนี้:

[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & M_{11} & 0 & M_{12} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & M_{12} & 0 & M_{22} \end{array}] [\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \\ {\dot{x}}_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{2} \\ - V_{1} - G_{1} \\ x_{4} \\ - V_{2} - G_{2} \end{matrix}]

$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & M_{11} & 0 & M_{12}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & M_{12} & 0 & M_{22} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \dot{x}_3\\ \dot{x}_4 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} x_2\\ -V_1-G_1\\ x_4\\ -V_2-G_2 \end{array} \right]$

โดยที่ $x_1$ คือมุมของร่างกายแรกที่เกี่ยวกับแนวนอน $x_2$ คือความเร็วเชิงมุมของร่างกายแรก $x_3$ คือมุมของร่างกายที่สองที่เกี่ยวกับร่างกายแรกและ $x_4$ คือความเร็วเชิงมุมของร่างกายที่สอง สัมประสิทธิ์ทั้งหมดมีการระบุไว้ในรหัสต่อไปนี้ในrhsและfMassฟังก์ชั่นที่ฉันสร้างขึ้น

clear all
opts= odeset('Mass',@fMass,'MStateDependence','strong','MassSingular','no','OutputFcn',@odeplot);
sol = ode45(@(t,x) rhs(t,x),[0 5],[pi/2 0 0 0],opts);

function F=rhs(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    a=[0.25 0.25];
    g=9.81;
    c1=cos(x(1));
    s2=sin(x(3));
    c12=cos(x(1)+x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    V1=-n1*s2*x(4)^2-2*n1*s2*x(2)*x(4);
    V2=n1*s2*x(2)^2;
    G1=m(1)*a(1)*g*c1+m(2)*g*(l*c1+a(2)*c12);
    G2=m(2)*g*a(2)*c12;

    F(1)=x(2);
    F(2)=-V1-G1;
    F(3)=x(4);
    F(4)=-V2-G2;
    F=F';     
end

function M=fMass(t,x)
    m=[1 1];
    l=0.5;
    Izz=[0.11 0.11];
    a=[0.25 0.25];
    c2=cos(x(3));
    n1=m(2)*a(2)*l;
    M11=m(1)*a(1)^2+Izz(1)+m(2)*(a(2)^2+l^2)+2*n1*c2+Izz(2);
    M12=m(2)*a(2)^2+n1*c2+Izz(2);
    M22=m(2)*a(2)^2+Izz(2);
    M=[1 0 0 0;0 M11 0 M12;0 0 1 0;0 M12 0 M22];
end

สังเกตุว่าฉันตั้งเงื่อนไขเริ่มต้นของ $x_1$ (มุมของร่างกายแรกที่เกี่ยวกับแนวนอน) เพื่อให้ระบบเริ่มต้นในแนวตั้งอย่างสมบูรณ์ ด้วยวิธีนี้เนื่องจากแรงโน้มถ่วงเท่านั้นที่ทำหน้าที่ผลลัพธ์ที่ชัดเจนคือระบบไม่ควรเคลื่อนที่จากตำแหน่งนั้น

หมายเหตุ: ในกราฟิกด้านล่างทั้งหมดฉันได้วางแผนการแก้ปัญหา $x_1$ และ $x_3$ ตามเวลา

ode45

เมื่อฉันรันการจำลองเป็นเวลา 6 วินาทีด้วยode45ฉันจะได้รับโซลูชันที่คาดหวังโดยไม่มีปัญหาเลยระบบยังคงอยู่ที่เดิมและไม่เคลื่อนที่:

อย่างไรก็ตามเมื่อฉันรันการจำลองเป็นเวลา 10 วินาทีระบบจะเริ่มเคลื่อนไหวอย่างไม่มีเหตุผล:

ODE23

จากนั้นฉันก็ทำการจำลองด้วยode23เพื่อดูว่าปัญหายังคงอยู่หรือไม่ ฉันจบลงด้วยพฤติกรรมที่เหมือนกันเฉพาะเวลานี้ความแตกต่างเริ่มต้นที่ 1 วินาทีต่อมา:

ODE15s

จากนั้นฉันก็ทำการจำลองด้วยode15sเพื่อดูว่าปัญหายังคงอยู่หรือไม่ระบบดูเหมือนจะเสถียรแม้ในช่วง 100 วินาที:

จากนั้นอีกครั้ง ode15sode15sMaxStep $0.01$ ode45ode23

โดยปกติแล้วผลลัพธ์ที่ชัดเจนของการจำลองเหล่านี้ก็คือระบบจะอยู่ที่ตำแหน่งเริ่มต้นเนื่องจากไม่มีสิ่งใดรบกวนระบบดังกล่าว ทำไมความแตกต่างนี้จึงเกิดขึ้น มันมีบางอย่างเกี่ยวกับความจริงที่ว่าระบบประเภทนี้มีความวุ่นวายในธรรมชาติหรือไม่? นี่เป็นพฤติกรรมปกติของodeฟังก์ชั่นใน Matlab หรือไม่?

matlab ode numerical-modelling

— jrojasqu
แหล่งที่มา

นอกจากสมการแล้วฉันคิดว่าแผนผังจะช่วยให้เข้าใจคำถามได้เป็นอย่างดี

— nicoguaro

หากคุณคิดว่าเหมาะสมคุณอาจยอมรับคำตอบอย่างใดอย่างหนึ่ง (มีปุ่มสีเขียว)

— Ertxiem - คืนสถานะโมนิก้า

คุณไม่พูด แต่คุณดูเหมือนจะได้รับการวางแผนและx1 x3(แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการแทรกแห้งโดยไม่ต้องกราฟตำนานหรือคำอธิบาย.) ลองวางแผนลอการิทึมของ (ค่าแน่นอนของ) และx2 x4

— Eric Towers

15

ฉันคิดว่าประเด็นหลักสองข้อนั้นเกิดขึ้นแล้วโดย Brian และ Ertxiem: ค่าเริ่มต้นของคุณคือดุลยภาพที่ไม่เสถียรและความจริงที่ว่าการคำนวณเชิงตัวเลขของคุณนั้นไม่แม่นยำอย่างแท้จริงจะทำให้เกิดความวุ่นวายเล็กน้อย

หากต้องการให้รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการเล่นให้พิจารณาปัญหาของคุณในรูปแบบของปัญหาค่าเริ่มต้นทั่วไป

\dot{y} (t) = M^{- 1} f (t, y (t))

$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) \end{equation}$

y (t) = (x_{1} (t), x_{2} (t), x_{3} (t), x_{4} (t))

$\mathbf{y}(t) = (x_1(t), x_2(t), x_3(t), x_4(t))$ และ

f (t, y (t)) = [\begin{matrix} x_{2} \\ - V_{1} - G_{1} \\ x_{4} \\ - V_{2} - G_{2} \end{matrix}]

$\begin{equation} \mathbf{f}(t, \mathbf{y}(t)) = \begin{bmatrix} x_2 \\ -V_1 - G_1 \\ x_4 \\ -V_2 - G_2 \end{bmatrix} \end{equation}$

$\mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) = 0$ $\dot{\mathbf{y}}(0) = 0$ $\tilde{\mathbf{f}}$

ในรหัสของคุณคุณสามารถทดสอบได้โดยการคำนวณ

norm(rhs(0,[pi/2 0 0 0]))

ซึ่งให้ 6.191e-16 - ดังนั้นเกือบ แต่ไม่เป็นศูนย์แน่นอน สิ่งนั้นส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงของระบบของคุณอย่างไร?

$\mathbf{f}$ $\mathbf{y}_0$ $\tilde{\mathbf{y}}_0$

นอกจากนี้ในช่วงเวลาสั้น ๆ โซลูชันของระบบของคุณดูเหมือนโซลูชันของระบบเชิงเส้น

\dot{y} (t) = f (0, y_{0}) + f^{'} (0, y_{0}) (y (t) - y_{0}) = f^{'} (0, y_{0}) (y (t) - y_{0})

$\begin{equation} \dot{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{f}(0, \mathbf{y}_0) + \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \left( \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0 \right) \end{equation}$

$\mathbf{f}'$ $\mathbf{f}$ rhs $\mathbf{y}_0$ $\mathbf{d}(t) := \mathbf{y}(t) - \mathbf{y}_0$ $\mathbf{d}$

\dot{d} (t) = f^{'} (0, y_{0}) d (t) .

$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) \mathbf{d}(t). \end{equation}$

ฉันไม่สามารถใส่ใจกับการคำนวณยาโคเบียนด้วยมือดังนั้นฉันจึงใช้ความแตกต่างแบบอัตโนมัติเพื่อให้ได้การประมาณที่ดี:

J := f^{'} (0, y_{0}) = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 9.81 & 0 & 2.4525 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2.4525 & 0 & 2.4525 & 0 \end{matrix}]

$\begin{equation} \mathbf{J} := \mathbf{f}'(0, \mathbf{y}_0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 9.81 & 0 & 2.4525 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2.4525 & 0 & 2.4525 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}$

เพื่อให้สมการของคุณกลายเป็น

\dot{d} (t) = J d (t), d (0) = {\tilde{y}}_{0} - y_{0}

$\begin{equation} \dot{\mathbf{d}}(t) = \mathbf{J} \mathbf{d}(t), \mathbf{d}(0) = \mathbf{\tilde{y}}_0 - \mathbf{y}_0 \end{equation}$

ตอนนี้เราต้องการหนึ่งขั้นตอนสุดท้าย: เราสามารถคำนวณการสลายตัวในลักษณะเฉพาะของจาโคเบียนเช่นนั้น

J = Q D Q^{- 1}

$\begin{equation} \mathbf{J} = \mathbf{Q} \mathbf{D} \mathbf{Q}^{-1} \end{equation}$

$\mathbf{D}$ $\mathbf{J}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{d}$ $\mathbf{e}(t) := \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(t)$

\dot{e} (t) = D e (t), e (0) = Q^{- 1} d_{0} .

$\begin{equation} \dot{\mathbf{e}}(t) = \mathbf{D} \mathbf{e}(t), \mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0. \end{equation}$

$\mathbf{D}$

{\dot{e}}_{i} (t) = λ_{i} e_{i} (t), e_{i} (0) = i - th component of Q^{- 1} d_{0}

$\begin{equation} \dot{e}_i(t) = \lambda_i e_i(t), e_i(0) = i-\textrm{th component of}~\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}_0 \end{equation}$

$i=1,2,3,4$ $\lambda_1 = 3.2485$

e_{1} (t) = e_{1} (0) e^{3.2485 t} .

$\begin{equation} e_1(t) = e_1(0) e^{3.2485 t}. \end{equation}$

$\mathbf{d}(0) = 0$ $\mathbf{e}(0) = \mathbf{Q}^{-1} \mathbf{d}(0) = 0$ $e_1(0) = 0$ $e_1(0)$

— แดเนียล
แหล่งที่มา

16

$\pi/2$ $\pi/2$

— Brian Borchers
แหล่งที่มา

4

หากคุณตรวจสอบตัวแปรสถานะอย่างระมัดระวัง (โดยดูที่ค่าที่พิมพ์ไว้ในสัญกรณ์ทางวิทยาศาสตร์) คุณควรจะเห็นการเคลื่อนไหวเริ่มต้นช้ามากห่างจากความสมดุล

— Brian Borchers

สิ่งนี้สมเหตุสมผลและเมื่อฉันเริ่มระบบในแนวตั้งลง (เป็นจุดสมดุลที่มั่นคง) ระบบจะไม่เคลื่อนที่เลยอย่างน้อยก็สำหรับการจำลอง 1,000 วินาทีซึ่งฉันพิจารณาระยะเวลานานมาก .

— jrojasqu

6

x_{1}

$x_1$ sin(0)cos(0)sin(pi/2)cos(pi/2)rhs(t,[0,0,0 0] == [0,0,0,0]

@jrojasqu เพียงเพื่อให้ชัดเจนอย่างชัดเจนในสิ่งที่ได้รับการกล่าว: ตัวแปรของคุณจะถูกแสดงด้วยความแม่นยำสองครั้งลอยซึ่งสามารถแสดงชุดของตัวเลขแน่นอนและ

π / 2

$\pi/2$ ไม่ใช่หนึ่งในหลาย ๆ เหตุผลสิ่งที่ง่ายที่สุดคือมันไม่มีเหตุผลและมีจำนวนอนันต์ แต่ทุ่นลอยมีจำนวนหลักแน่นอน Zero เป็นสมาชิกของชุดนี้และสามารถแสดงได้อย่างแน่นอน

— llama

1

โปรดทราบว่าหากไม่ได้แสดงทิศทางตรงลง

θ = 0

$\theta = 0$ คุณควรเห็นการเคลื่อนไหวบางอย่างที่คุณคาดว่าจะไม่มีทางคณิตศาสตร์ แต่ในกรณีนี้มันจะสั่นเกี่ยวกับความสมดุลที่มั่นคงพร้อมแอมพลิจูดตามลำดับความแม่นยำลอย (

10^{- 16}

$~10^{-16}$ สำหรับคู่)

— ลามะ

4

ดูส่วนประกอบของแรงที่คำนวณในหน้าที่ของคุณ

คุณอาจจะพบว่าพวกเขาไม่เคยเป็นศูนย์อย่างแน่นอนเพราะอย่างที่คำตอบอื่น ๆ ได้กล่าวไว้คุณไม่สามารถแสดงคุณค่าของ $\pi$ แน่นอนในคอมพิวเตอร์คณิตศาสตร์และรูทีนที่คำนวณฟังก์ชั่นตรีโกณมิติไม่แน่นอนเช่นกัน

ในที่สุดกองกำลังจิ๋ว (อาจจะเป็นระเบียบ $10^{-16}$ เมื่อเริ่มต้น) จะย้ายระบบออกจากตำแหน่งที่ไม่เสถียร

ในขณะที่การกระจัดของระบบยังคงมีขนาดเล็กมากการคำนวณทั้งหมดจะสูญเสียความแม่นยำมากผ่านข้อผิดพลาดในการปัดเศษ (คุณกำลังทำการคำนวณคล้ายกับ $a = 1.0$ ; $a = a + 10^{-16}$ ) ดังนั้นจำนวนเวลาก่อนที่ระบบจะ "ล้มล้าง" ในการจำลองจะขึ้นอยู่กับวิธีการรวมที่คุณใช้ขั้นตอนเวลาที่คุณขอ ฯลฯ

— alephzero
แหล่งที่มา

4

ข้อสันนิษฐานเบื้องต้นคือตำแหน่งเริ่มต้นอยู่ที่สมดุลคงที่ (กล่าวคือพลังงานศักย์ต่ำสุด) โดยมีศูนย์พลังงานจลน์เป็นศูนย์และระบบเริ่มเคลื่อนตัวออกจากสมดุล
เนื่องจากร่างกายไม่สามารถเกิดขึ้นได้ (ถ้าเราพิจารณากลไกแบบคลาสสิก) มีสองสิ่งที่อยู่ในใจของฉัน:

สิ่งแรกคือบางทีตำแหน่งเริ่มต้น: ลูกตุ้มทั้งสองชี้ขึ้น $\pi/2$ แทน $-\pi/2$ ?) ซึ่งเป็นจุดสมดุลที่ไม่มั่นคง
อย่างที่สองคืออาจมีบางอย่างผิดปกติกับสมการการเคลื่อนที่ คุณกรุณาเขียนสมการอย่างชัดเจนได้ไหม บางทีคุณอาจพล็อตความเร่งเชิงมุมเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งเริ่มต้นของลูกตุ้มแต่ละตัวโดยสมมติว่าความเร็วเชิงมุมเป็นศูนย์เพื่อตรวจสอบว่ามีบางสิ่งแปลก ๆ หรือไม่

— Ertxiem - คืนสถานะโมนิกา
แหล่งที่มา

1

อันที่จริงฉันเริ่มระบบในแนวตั้งขึ้น ดังนั้นจึงเป็นจุดสมดุลที่ไม่มั่นคง ความคิดเห็นของ Brian Borcher ทำให้คำตอบของคุณเสร็จสมบูรณ์โดยการอธิบายปัญหาด้วย

π

$\pi$ การประมาณค่าซึ่งนำไปสู่ระบบในที่สุดก็ย้ายจากตำแหน่งนั้น

— jrojasqu

2

อย่างไรก็ตามเพื่อความสนุกสนานถ้าคุณต้องการให้ระบบอยู่ในตำแหน่งแนวตั้งที่ไม่เสถียรคุณสามารถเปลี่ยนจุดเริ่มต้นของพิกัดเป็นมุมเท่ากับศูนย์ชี้ขึ้น

— Ertxiem - คืนสถานะโมนิก้า

@Ertxiem อีกตัวเลือกหนึ่งคือการแนะนำแรงเสียดทานเล็กน้อยในพินที่จะกินข้อผิดพลาดเชิงตัวเลข

— svavil

@Ertxiem เพื่อความสนุกฉันพยายามเปลี่ยนระบบพิกัดเพื่อให้ศูนย์เป็นศูนย์ทำให้ระบบชี้ขึ้น มันเป็นพารามิเตอร์ที่ดีที่สุดที่นี่ เห็นได้ชัดว่าระบบอยู่ในตำแหน่งขึ้นไปเรื่อย ๆ อย่างไรก็ตามการแกว่งยังคงเกิดขึ้น (น้อยที่สุดสำหรับ 1,000 วินาทีของการจำลอง แต่มี) ที่ตำแหน่งสมดุลคงที่ (ลงตรง) เพราะตอนนั้นมี

\sin (π)

$\sin(\pi)$ ที่จะคำนวณในแรงที่เกิดจากพลังงานศักย์ ดังนั้นฉันยืนยันในความจริงที่ว่าถ้าฉันจำลองสิ่งนี้มานานพอระบบจะเริ่มเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งนั้น

— jrojasqu

เนื่องจากร่างกายไม่สามารถเกิดขึ้นได้ - จากความเข้าใจที่ลึกซึ้งว่าเราอยู่ในสภาวะที่ไม่มั่นคงฉันจึงท้าทายสิ่งนี้ ระบบทางกายภาพ (ไม่มีแรงเสียดทานมากเกินไป) จะไม่อยู่ในสภาวะสมดุลที่ไม่เสถียร โดยทั่วไปหากคุณจำลองระบบจริงคุณจะต้องหลีกเลี่ยงการติดขัดในสภาวะที่ไม่มั่นคง (แต่ไปถึงที่นั่น) - เป็นคุณลักษณะไม่ใช่ข้อผิดพลาด (มีข้อยกเว้นบางประการที่หาได้ยากเช่นสถานะที่ไม่ติดเชื้อในระบบภูมิคุ้มกันซึ่งเป็นดุลยภาพที่ไม่เสถียรที่สามารถรักษาได้)

— Wrzlprmft

0

คุณควรค้นหาเพิ่มเติมเกี่ยวกับลูกตุ้มคู่: มันคือสิ่งที่เราเรียกว่า "ระบบที่วุ่นวาย" แม้ว่าพวกเขาจะปฏิบัติตามกฎง่าย ๆ เริ่มต้นจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่แตกต่างกันเล็กน้อยโซลูชั่นที่แยกออกค่อนข้างเร็ว การจำลองแบบตัวเลขสำหรับระบบประเภทนี้ไม่ใช่เรื่องง่าย ดูวิดีโอต่อไปนี้เพื่อรับข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับปัญหา

สำหรับลูกตุ้มแบบง่ายหรือสองเท่าคุณสามารถเขียนสูตรสำหรับพลังงานทั้งหมดของระบบ สมมติว่าแรงเสียดทานถูกละเลยพลังงานทั้งหมดนี้จะถูกรักษาไว้โดยระบบวิเคราะห์ ตัวเลขนี้เป็นปัญหาอื่นทั้งหมด

ก่อนที่จะลองลูกตุ้มสองเท่าลองใช้ลูกตุ้มแบบง่าย คุณจะสังเกตเห็นว่าสำหรับวิธี Runge-Kutta ของการสั่งซื้อขนาดเล็กพลังงานของระบบจะเพิ่มขึ้นในแบบจำลองเชิงตัวเลขแทนที่จะเป็นค่าคงที่ที่เหลืออยู่ (นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นในแบบจำลองของคุณ: คุณไม่เคลื่อนไหวอะไรเลย) เพื่อป้องกันสิ่งนี้สามารถใช้วิธี RK ลำดับที่สูงขึ้นได้ (ode45 คือลำดับ 4; RK ของลำดับ 8 จะทำงานได้ดีขึ้น) มีวิธีการอื่น ๆ ที่เรียกว่า "วิธี symplectic" ซึ่งได้รับการออกแบบมาเพื่อให้การจำลองเชิงตัวเลขอนุรักษ์พลังงาน โดยทั่วไปคุณควรหยุดการจำลองทันทีที่พลังงานเพิ่มขึ้นอย่างมีนัยสำคัญเมื่อเทียบกับการเริ่มต้นของคุณ

และพยายามที่จะเข้าใจลูกตุ้มง่าย ๆ ก่อนที่จะไปลูกตุ้มคู่

— Beni Bogosel
แหล่งที่มา

2

นี่ไม่ใช่เรื่องของระบบที่วุ่นวาย แต่ คุณสามารถมีสมดุลที่ไม่แน่นอนในระบบที่ไม่วุ่นวายเช่นลูกตุ้มเดี่ยวที่ "อยู่บนหัว" และมันจะแสดงพฤติกรรมแบบเดียวกันที่อธิบายไว้ในคำถาม

— Daniel

1

มันก็ไม่เป็นความจริงที่พลังงานเพิ่มขึ้นสำหรับ RKM ของคำสั่งขนาดเล็ก: โดยปริยายออยเลอร์เป็นลำดับแรกและแสดงพฤติกรรมที่ตรงกันข้าม

— Daniel

@BeniBogosel คุณพูดถึงวิธี symplectic ที่ดึงดูดความสนใจของฉันเพราะเห็นได้ชัดว่าในตัวอย่างของฉันพลังงานไม่ได้อนุรักษ์ อย่างไรก็ตามคุณสามารถระบุวิธี symplectic เฉพาะที่สามารถนำมาใช้ที่นี่ได้หรือไม่?

— jrojasqu

@jrojasqu ทำไมคุณถึงพูดว่าพลังงานไม่ได้ถูกสงวนไว้ในระบบของคุณ?

— Ertxiem - คืนสถานะโมนิก้า

@Ertxiem เมื่อฉันคำนวณพลังงานเชิงกลทั้งหมดของระบบ (Kinetic + ศักยภาพพลังงาน) ด้วยผลลัพธ์ที่ได้รับจากode45ฉันได้รับค่าที่เริ่มต้นด้วยศูนย์จากนั้นเติบโตตามเวลา ค่ามีขนาดเล็กมากในวินาทีแรก แต่ก็ยังเติบโตอย่างต่อเนื่องจากศูนย์ ฉันเชื่อว่าเป็นเพราะปัญหาที่ระบุไว้ในคำตอบข้างต้น (การประมาณ

π

$\pi$ ฯลฯ )

— jrojasqu