การปรับระดับต่ำส่งผลต่อการรวมกันของวิธี Krylov อย่างไร

บอกว่าฉันมีระบบเชิงเส้นx = Bซึ่งลู่อย่างรวดเร็วโดยใช้วิธีการที่เหมาะสม Krylov (เช่น CG หรือ GMRES) สำหรับทุกข ถ้าBเป็นเมทริกซ์ที่มีระดับต่ำrวิธี Krylov เดียวกันบนระบบ( A + B ) x = b จะมาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว (โดยมีการวนซ้ำจำนวนมากที่ขึ้นอยู่กับrเท่านั้น)$A x = b$$b$$B$$r$$(A + B) x = b$$r$

ตัวอย่างของระบบดังกล่าวคือความยืดหยุ่นของเมมเบรนที่ผ่านการปรับสภาพล่วงหน้าและการดัดรวมถึงเงื่อนไขความดันอากาศที่ไม่ได้รับการกำหนดเงื่อนไขพร้อมโครงสร้างผลิตภัณฑ์ด้านนอกที่หนาแน่น

โปรดทราบว่าคำถามจะเหมือนกันมีหรือไม่มี preconditioning ตั้งแต่เป็นอันดับRเปลี่ยนแปลงของP Q$P(A + B)Q = PAQ + PBQ$$r$$PAQ$

หากพื้นที่ย่อย Krylov ของคุณขึ้นอยู่กับพลังของบรรจบกันจะล่าช้าตามจำนวนการวนซ้ำที่มากที่สุดในระดับของการแก้ไข หากมันขึ้นอยู่กับพลังของA T Aดังนั้นจำนวนนี้จะมากเป็นสองเท่า$A$$A^TA$

ฉันไม่ได้เห็นคำกล่าวดังกล่าวในวรรณคดี แต่เพื่อดูความถูกต้องในกรณีแรกก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าพื้นที่ Krylov ของเมทริกซ์A + U S V Tซึ่งU , $k$$A+USV^T$$U,V$มีคอลัมน์อยู่ในพื้นที่ที่สอดคล้องกันโดยไม่มีการแก้ไขระดับต่ำ แต่มี ดัชนีสูงขึ้นตามลําดับk + R ตรงไปตรงมาเพื่อตรวจสอบ$r$$k+r$