เครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับลาครังเจียนเสริม

ฉันต้องการที่จะแก้ปัญหาที่ไม่ใช่เชิงเส้นด้วยข้อ จำกัด ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นและฉันใช้ลากรองจ์ที่เพิ่มขึ้นด้วยคำว่าการทำให้เป็นระเบียบแบบลงโทษซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีคือทำลายจำนวนเงื่อนไขของระบบเชิงเส้นของฉัน . ยิ่งมีเงื่อนไขการลงโทษมากเท่าใดก็ยิ่งเลวร้ายขึ้นเท่านั้น ใครจะรู้วิธีที่มีประสิทธิภาพในการกำจัดเงื่อนไขที่ไม่ดีนี้ในกรณีที่เฉพาะเจาะจงหรือไม่

จะเจาะจงมากขึ้นฉันใช้ lagrangian เติมคลาสสิกเพราะฉันมีข้อ จำกัด มากมายซึ่งโดยทั่วไปอาจซ้ำซ้อน ดังนั้นการรวมข้อ จำกัด direclty สุ่มสี่สุ่มห้าในตัวแปรแรกจึงสะดวกมาก ฉันลองใช้วิธีการที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยใช้การกำจัดตัวแปรหรือปัจจัยพื้นฐานที่มีประสิทธิภาพบนระบบ KKT โดยตรง แต่เนื่องจากข้อ จำกัด ที่ซ้ำซ้อนฉันจึงมีปัญหาบางอย่าง

ปัญหาเกี่ยวกับตัวแปรถูกจัดทำขึ้นตามลากรองจ์ของฉันในรูปแบบ L ( U , λ ) : = W ( U ) + ρ λ $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

$$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$$

ดังนั้นโดยทั่วไปเป้าหมายในการคำนวณซ้ำของนิวตันแต่ละครั้งคือการแก้ปัญหาของรูปแบบ ด้วย (เราปล่อย hessian ของข้อ จำกัด ) และ และทุนมีความหมายสำหรับU)A ( u , ρ ) : = ∇ 2 u W ( u ) + ρ C T ( u ) C ( u ) b ( u , ρ ) : = - ( ∇ u W ( u ) + ( ρ + λ T c ( u ) ) ∇ u

$$A \Delta u = b$$ $$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$$ $$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$$ $C$$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

ขอบคุณ.

ขึ้นอยู่กับโครงสร้างปัญหาคุณสามารถแก้ปัญหาระบบ Augmented Lagrangian ได้โดยตรง ตัวอย่างเช่น BDDC / FETI-DP สามารถแก้ปัญหาความยืดหยุ่นที่เกือบจะไม่สามารถบีบอัดได้ในรูปแบบปฐมด้วยอัตราการลู่เข้าซึ่งเป็นอิสระจากอัตราส่วนปัวซอง ในทำนองเดียวกันวิธีการหลายค่าที่ทำซ้ำโหมดปริมาตรสามารถมีคุณสมบัตินี้ได้ วิธีการดังกล่าวเป็นการเฉพาะปัญหาและโดยทั่วไปแล้วการลงโทษครั้งใหญ่ส่งผลให้เกิดระบบที่ยากต่อการปรับสภาพ

เพื่อให้มีความยืดหยุ่นมากขึ้นในการเลือกเครื่องปรับอากาศฉันแนะนำให้แนะนำตัวแปรคู่ที่ชัดเจนและเขียนระบบจุดอานที่ใหญ่ขึ้น

$$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$$

ตามที่แนะนำโดย Arnold Neumaier ระบบนี้มีการปรับสภาพที่ดีขึ้นมากและช่วยให้คุณสามารถประเมินส่วนที่เหลือได้อย่างถูกต้อง หากมีเงื่อนไขเบื้องต้นสำหรับระบบที่ถูกลงโทษมีอยู่ (โดยที่ ) คุณสามารถใช้มันเป็นตัวตั้งเงื่อนไขบล็อกสำหรับระบบจุดอาน สำหรับตัวอย่างนี้ดูDohrmann และ Lehoucq (2006)ซึ่งมีเงื่อนไขที่ยืดหยุ่นไม่สามารถบีบอัดได้ในรูปแบบผสมโดยใช้ BDDC ที่ใช้กับปัญหาที่บีบอัดได้ คลาสที่ได้รับความนิยมอีกวิธีหนึ่งจะขึ้นอยู่กับการประมาณของส่วนประกอบ Schurโดยใช้อาร์กิวเมนต์ "ค่าประมาณค่าคอมมิชชัน" มีวิธีการที่หลากหลายอย่างมากสำหรับการแก้ปัญหาของจุดอานดูBenzi, Golub และ Liesen$A - \tilde\rho C^T C$$\tilde \rho \le \rho$$-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของปัญหาจุดอาน (2005)สำหรับการตรวจสอบ หากคุณใช้ PETSc คุณสามารถสร้างวิธีการมากมายที่อธิบายไว้ในการตรวจสอบข้างต้นโดยใช้ตัวเลือกรันไทม์ผ่านPCFIELDSPLITส่วนประกอบ

หากคุณสามารถเฉพาะเจาะจงมากขึ้นเกี่ยวกับแหล่งที่มาของปัญหาของคุณ (สิ่งที่คุณลดลงและสิ่งที่เป็นข้อ จำกัด ) ฉันอาจจะสามารถแนะนำการอ้างอิงที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น

แนะนำตัวแปรเพิ่มเติมสำหรับเงื่อนไขการทำลายในสภาพ KT และคุณสามารถหาระบบสมมาตรที่ใหญ่กว่าซึ่งมีความประพฤติดีตัวเลขโดยมีค่าผกผันของค่าปรับเข้ามาในเมทริกซ์

เพื่อแก้ปัญหาระบบปรับอากาศเมื่อมีขนาดใหญ่แนะนำและสร้างปัญหาของคุณใหม่ในรูปแบบ ,ซึ่งมีสภาพดีโดยทั่วไป$(A+\rho C^TC)x=b~$$\rho$$y=\rho Cx$$Ax+C^Ty=b$$Cx-\rho^{-1}y=0$