วิธีรวมนิพจน์พหุนามกับองค์ประกอบ 3D 4-node

ฉันต้องการรวมการแสดงออกพหุนามกับองค์ประกอบ 4-node ใน 3D หนังสือหลายเล่มเกี่ยวกับ FEA ครอบคลุมกรณีที่การบูรณาการจะดำเนินการมากกว่าองค์ประกอบ non-noned แบน 4 โดยพลการ ขั้นตอนปกติในกรณีนี้คือการหา Jacobi matrix และใช้มันเป็นตัวกำหนดเพื่อเปลี่ยนพื้นฐานการรวมเป็นหนึ่งในมาตรฐานที่ฉันมีข้อ จำกัด การรวมง่ายกว่า [-1; 1] และเทคนิคการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Gauss-Legendre

ในคำอื่น ๆ $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ จะลดลงเป็นรูปแบบของ $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

แต่ในกรณี 2D ฉันเปลี่ยนองค์ประกอบตามอำเภอใจแบนเป็นรูปทรงแบน แต่รูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 คูณ 2

องค์ประกอบ 4 มิติแบบ 3 มิติไม่แบนโดยทั่วไป แต่ฉันคิดว่ามันยังสามารถแมปกับระบบพิกัด 2D ซึ่งเกี่ยวข้องกับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ฉันไม่สามารถหาวิธีแสดง {x, y, z} ในรูปของ {e, n} และขนาดของเมทริกซ์จาโคบีในกรณีนี้จะเป็นเท่าไหร่ (ควรเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

โดเมน 2D และ 3D

finite-element quadrature

— danny_23
แหล่งที่มา

คุณกำลังรวมฟังก์ชั่นเข้ากับ manifold สองมิติที่ฝังอยู่ใน ; หนังสือในการวิเคราะห์บน manifolds (เช่นหนังสือที่เข้าถึงได้ของ Munkres หรือหนังสือของ Lee บน manifolds) มีประโยชน์ในการอภิปรายทฤษฎีที่กำหนดอินทิกรัลประเภทนี้ $\mathbb{R}^{3}$

สมมุติว่าเป็นฟังก์ชันที่มีคุณค่าจริง ๆ ที่กำหนดไว้ใน manifoldซึ่งเป็นองค์ประกอบ 4-node 3-D ของคุณ $f$ $\mathcal{M}$

คุณต้องการคำนวณ:

\begin{aligned} \int_{M} f d S . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$

สมมติว่าเป็นฟังก์ชั่นว่าแผนที่จะ{M} แล้วก็ $\varphi$ $[-1,1]^{2}$ $\mathcal{M}$

\begin{aligned} \int_{M} f d S = \int_{[- 1, 1]^{2}} f (φ (x, y)) (det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)))^{1 / 2} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$

(ฉันใช้ชุดบันทึกนี้เพื่อรีเฟรชหน่วยความจำของฉัน) ข้างต้นคือเมทริกซ์จาโคเบียนของและเป็นทรานส $\mathrm{D}\varphi$ $\varphi$ $\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

เมื่อคุณสามารถเขียนอินทิกรัลเหนือแล้วคุณสามารถใช้วิธีการเชิงตัวเลขเพื่อประเมินมัน $[-1,1]^{2}$

ความคิดเห็นบางส่วน:

ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าองค์ประกอบ 4-node 3-D ของคุณนั้นมีความหลากหลาย ถ้าเป็นเช่นนั้นฟังก์ชั่นมีอยู่ (ตามคำจำกัดความ) มีความต่อเนื่องเป็นชิ้น ๆ มันขึ้นอยู่กับคุณที่จะหาฟังก์ชั่นที่มีคุณสมบัติเหล่านั้น $\varphi$
การโต้แย้งดังกล่าวถือว่าเป็นเหตุผลที่ชัดเจนซึ่งหมายความว่ามีที่แตกต่างกันอย่างต่อเนื่อง ในกรณีของคุณองค์ประกอบที่คุณอธิบายอาจไม่เปลี่ยนแปลงได้อย่างต่อเนื่อง หากนั่นเป็นความจริงคุณอาจจะยังคงแบ่งพาร์ทเมนต์ของคุณเป็นสองแมนิโฟลด์ที่ราบรื่นจากนั้นข้อโต้แย้งข้างต้นยังคงมีอยู่ อีกครั้งคุณจะต้องพบทำให้พอใจคุณสมบัติของการกลับด้านและความแตกต่างอย่างต่อเนื่อง $\mathcal{M}$ $\varphi$ $\varphi$

— Geoff Oxberry
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาก. หนังสือที่ฉันกำลังอ่านครอบคลุมเฉพาะกรณีที่ตารางเมทริกซ์ Jacobi (2 คูณ 2) เกี่ยวข้องกับการทำให้สิ่งต่าง ๆ เรียบง่าย การแสดงออกข้างต้นถ้าฉันเข้าใจถูกต้องทำให้สามารถใช้เมทริกซ์ Jacobi (2 คูณ 3) ได้ น่าเสียดายที่ฉันยังได้รับในตอนนี้ แต่มันมาก ดีกว่าที่ฉันมีก่อนหน้านี้ ฉันจะสร้างเธรดอื่นในตัวเลือกการแมปฟังก์ชันที่เหมาะสม ขอบคุณอีกครั้ง.

det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)) = 0

$\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

— danny_23

Jacobian matrix ของคุณควรเป็น 3 คูณ 2 ดังนั้นควรเป็นเมทริกซ์ 2 คูณ 2

D φ

$\mathrm{D}\varphi$

D φ^{T} D φ

$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

— Geoff Oxberry

เจฟฟ์ถูกต้องแล้ว ฉันใส่สูตรทั่วไปอย่างง่ายพร้อมตัวอย่างจากที่นี่: theoretical-physics.net/dev/src/math/integration.html

— OndřejČertík