อะไรคือวิธีที่ถูกต้องในการบูรณาการในการจำลองทางดาราศาสตร์?

ฉันกำลังสร้างเครื่องจำลองทางดาราศาสตร์อย่างง่ายที่ควรใช้ฟิสิกส์ของนิวตันเพื่อจำลองการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบ (หรือวัตถุใด ๆ สำหรับเรื่องนั้น) ร่างกายทั้งหมดเป็นวงกลมในระนาบแบบยุคลิดที่มีคุณสมบัติเช่นตำแหน่ง, ความเร็ว, มวล, รัศมีและแรงที่เกิดขึ้น

ฉันต้องการอัปเดตจักรวาลในช่วงเวลาสั้น ๆ โดยปกติจะใช้เวลาไม่กี่มิลลิวินาที แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะคำนวณการเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้องได้อย่างไร

แรงง่าย: fr = sum(G * body.m * bodyi.m / dist(body, bodyi)^2).

แต่ฉันจะไปจากที่นั่นได้อย่างไร

ฉันสามารถทำสิ่งนี้:

a = Fr/body.m
v += a*dt
position += v*dt

แต่แน่นอนว่าจะเป็นเท็จ บางทีถ้าฉันเพิ่ม 0.5 เป็นปัจจัยในการคำนวณตำแหน่ง?

time-integration

— jcora
แหล่งที่มา

มันตลกเกินไปที่จะไม่แสดงความคิดเห็น: มันเป็นปัญหาทางดาราศาสตร์ที่พบได้ทั่วไปเพื่อจำลองการเคลื่อนไหวของ "plants" ;-)

— Wolfgang Bangerth

คุณได้คำตอบเป็นหลัก - ไม่จำเป็นต้องใช้ปัจจัย 0.5

โดยพื้นฐานแล้วคุณมีระบบสองมิติสำหรับลำดับแรก: ที่ทุกอย่างเป็นหน้าที่ของเวลายกเว้นสันนิษฐานและจุดแสดงเวลาสัญญาซื้อขายล่วงหน้า หากคุณทำตามลำดับแรกที่แตกต่างกันของออยเลอร์ - เอสก์คุณจะพบว่า

\begin{aligned} \dot{x} & = โวลต์ \\ \dot{โวลต์} & = \frac{F}{ม.}, \end{aligned}

$\begin{align} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = \frac{F}{m}, \end{align}$

m

$m$

หรือ

\begin{aligned} \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{Δ เสื้อ} & = {โวลต์}_{n} \\ \frac{{โวลต์}_{n + 1} - {โวลต์}_{n}}{Δ เสื้อ} & = \frac{F_{n}}{ม.}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t} & = v_n \\ \frac{v_{n+1}-v_n}{\Delta t} & = \frac{F_n}{m}, \end{align}$

นี่ฉันทำดัชนี timestep กับn

\begin{aligned} x_{n + 1} & = x_{n} + Δ เสื้อ \cdot {โวลต์}_{n} \\ {โวลต์}_{n + 1} & = {โวลต์}_{n} + Δ เสื้อ \frac{F_{n}}{ม.} . \end{aligned}

$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_n \\ v_{n+1} & = v_n + \Delta t \frac{F_n}{m}. \end{align}$

n

$n$

$t_n$ $t_{n+1}$ $t_{n+1/2}$ $x_0$ $v_{1/2}$

\begin{aligned} x_{n + 1} & = x_{n} + Δ เสื้อ \cdot {โวลต์}_{n + 1 / 2} \\ {โวลต์}_{n + 1 / 2} & = {โวลต์}_{n - 1 / 2} + Δ เสื้อ \frac{F_{n}}{ม.} \end{aligned}

$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_{n+1/2} \\ v_{n+1/2} & = v_{n-1/2} + \Delta t \frac{F_n}{m} \end{align}$

$v_{1/2}$ $v_0$

ω = \sqrt{\frac{G M}{R^{3}}},

$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}},$

M

$M$

r

$r$

เฮ้คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมฉันถึงไม่ต้องการ0.5ปัจจัย ดูเหมือนว่าจะทำในสิ่งเดียวกันกับที่ใช้ความเร็วn-1/2dtวินาทีที่ผ่านมาซึ่งเป็นสิ่งที่คุณแนะนำ

— jcora

(n - 1)

$(n-1)$

v_{n}

$v_n$

v_{n + 1}

$v_{n+1}$

v_{n}

$v_n$

0

$0$