วิธีการเชิงตัวเลขจำนวนมากสำหรับ PDE แบบไฮเปอร์โบลิกนั้นขึ้นอยู่กับการใช้ตัวแก้ Riemann เครื่องมือแก้ปัญหาดังกล่าวมีความจำเป็นสำหรับการจับคลื่นกระแทกอย่างแม่นยำ มีตัวแก้ปัญหาดังกล่าวมากมายสำหรับระบบที่ได้รับการศึกษามากที่สุด (เช่นตัวแก้ปัญหาที่แน่นอนตัวแก้รอย Roe ตัวแก้ HLL) ฉันจะตัดสินใจได้อย่างไรว่าจะใช้
คำตอบ:
สำหรับวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของไฮเพอร์โบลิก PDEs การใช้ตัวแก้ Riemann เป็นองค์ประกอบสำคัญของวิธีการจับการกระแทกแบบอนุรักษ์นิยมสำหรับการจำลองปัญหาคลื่นที่แม่นยำซึ่งอาจมีการกระแทก (การกระโดดต่อเนื่องในตัวแปรอนุรักษ์) เพื่อให้สามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้อย่างถูกต้องเราจำเป็นต้องใช้เทคนิคที่เหมาะสมในการแก้ปัญหา - ผู้แก้ Riemann รับผิดชอบในเรื่องนี้ นักแก้ปัญหา Riemann แสวงหาทางออกที่ถูกต้องสำหรับปัญหาการเชื่อมต่อระหว่างเซลล์ (fx. ใน Finite Volumes) หรือองค์ประกอบ (fx. ในระเบียบวิธี Galerkin Finite Element ที่ไม่ต่อเนื่อง) การแก้ปัญหาของอินเทอร์เฟซนี้จะขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาของทั้งสองด้านของอินเทอร์เฟซและพยายามที่จะใช้สิ่งนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างฟลักซ์ (ตัวเลข) ที่ถูกต้อง (ในแง่ของตัวแปรอนุรักษ์)
มีวิธีการมาตรฐานสองวิธีในการแก้ปัญหาของปัญหา Riemann (เฉพาะกับส่วนต่อประสาน) เช่นตัวแก้ปัญหา Riemann ที่แน่นอนและโดยประมาณ สำหรับ PDE จำนวนมากไม่มีวิธีแก้ปัญหาแบบปิดที่แน่นอนซึ่งในกรณีนี้เราต้องใช้ตัวแก้ Riemann โดยประมาณ ในทางปฏิบัติมันอาจจะแพงเกินไปที่จะแก้ปัญหาของ Riemann ซึ่งในกรณีนี้มันอาจจะมีประโยชน์มากกว่าถ้าใช้วิธีแก้ปัญหาของ Riemann ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้ฟลักซ์ประเภท Lax-Freidrichs ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางว่าเป็นวิธีการง่ายๆ
โดยพื้นฐานแล้วตัวเลือกระหว่างนักแก้ปัญหาของ Riemann เกี่ยวข้องกับวิธีที่ผู้ใช้พยายามอย่างถูกต้องเพื่อแสดงถึงความเร็วของคลื่นของการแก้ปัญหาและประสิทธิภาพที่เกิดขึ้น
มันขึ้นอยู่กับปัญหา ปัญหา Riemann ขึ้นอยู่กับข้อมูลจากทั้งสองด้านของอินเตอร์เฟสเซลล์ ในการสร้างฟลักซ์ใหม่ที่ส่วนต่อประสานโดยยึดตามข้อมูลนี้เราจะต้องทราบข้อมูลเกี่ยวกับโครงสร้างคลื่นแบบเต็มของ PDE ไฮเพอร์โบลิกที่เป็นปัญหา สิ่งนี้ทำให้ปัญหาของ Riemann ขึ้นอยู่กับปัญหาดังนั้นจึงเป็นตัวเลือกในการแก้ปัญหาของ Riemann ในระยะสั้นนักแก้ปัญหาที่ถูกต้องคำนึงถึงโครงสร้างคลื่นเต็มรูปแบบตัวแก้ Roe ขึ้นอยู่กับการประมาณของท้องถิ่น (โดยการแปลงเป็นเชิงเส้นและการหาค่าเฉลี่ยพิเศษ) ของโครงสร้างคลื่นในท้องถิ่นตัวแก้ HLL ขึ้นอยู่กับการประมาณสองความเร็วคลื่น โครงสร้างของคลื่นและจากนั้นกำหนดให้มีการอนุรักษ์โดยการจัดอันดับตามเงื่อนไขของ Rankine-Hugoniot เพื่อป้องกันการกระแทกหรือการหยุดติดต่อ
ดังนั้นการเลือกระหว่างนักแก้ปัญหาเฉพาะนักแก้ปัญหาที่แน่นอนหรือนักแก้ปัญหา Roe / HLL / etc ขึ้นอยู่กับการสร้างสมดุลระหว่างความถูกต้อง (ในการจำลองฟิสิกส์พื้นฐานของสมการโมเดล) และความต้องการประสิทธิภาพ ในที่สุด - อย่างที่ฉันเห็น - ในการใช้งานจริงมันมักจะเป็นข้อกำหนดด้านประสิทธิภาพที่กำหนดให้ใช้ตัวแก้ Riemann โดยประมาณ (fx. ของประเภท Lax-Friedrichs)
การแสดงออกที่ดีของเรื่องนี้ได้รับจาก EF Toro ในหนังสือเรียนของเขา "นักแก้ปัญหา Riemann และวิธีเชิงตัวเลขสำหรับพลศาสตร์ของไหล", Springer
ฉันได้รับความเชื่อมั่นว่าสำหรับตัวเลขที่มีค่าต่ำเราต้องใช้ตัวแก้ Riemann ที่มีคุณภาพสูงและสำหรับตัวเลขที่มีลำดับสูงก็สามารถใช้ตัวแก้ Riemann ที่มีคุณภาพต่ำได้ โดยสังเขปมี FLOPs จำนวนหนึ่งที่จำเป็นในการจับภาพฟิสิกส์ด้านล่างซึ่งอันนั้นถูก hosed
และใช่แล้วยังไม่มีเนื้อหาในคำตอบนี้จากมุมมองการประเมินผล ...