เมื่อใดควรใช้วิธีการโดยนัยในการบูรณาการของไฮเพอร์โบลิก PDE

วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ PDE (หรือ ODEs) แบ่งออกเป็นสองประเภทกว้าง ๆ : วิธีการที่ชัดเจนและโดยนัย วิธีการโดยนัยช่วยให้การประทับเวลามีเสถียรภาพมากขึ้น แต่ต้องการงานมากขึ้นต่อขั้นตอน สำหรับไฮเพอร์โบลิก PDEs ภูมิปัญญาทั่วไปคือวิธีการโดยนัยมักจะไม่จ่ายเพราะการใช้การประทับเวลาที่มีขนาดใหญ่กว่าที่ได้รับอนุญาตจากเงื่อนไข CFL นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องมาก อย่างไรก็ตามมีการใช้วิธีการโดยนัยในบางกรณี สำหรับแอปพลิเคชันที่ระบุควรเลือกใช้วิธีการที่ชัดเจนหรือโดยนัยอย่างไร

คำถามสำคัญคือกระบวนการทางกายภาพ (คลื่นหรือคำที่มา) มีช่วงเวลาที่คุณสนใจในการแก้ไขและที่คุณต้องการที่จะก้าวข้าม หากคุณไม่สนใจสเกลเวลาที่เร็วที่สุดในระบบสมการนั้นจะเรียกว่า "แข็ง" โดยทั่วไปแล้วกฎหมายการอนุรักษ์ซึ่งเกินความจริงมักเขียนเป็นระบบลำดับที่หนึ่ง

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

โดยที่ประกอบด้วยตัวแปรอนุรักษ์Fคือฟลักซ์และGเรียกว่า "คำที่มา" โปรดทราบว่ามีคำศัพท์นี้ฟลักซ์เรนไฮน์ไม่ได้มีสัญญาซื้อขายล่วงหน้าจึงแง่ diffusive และกระจายจะต้องไปในG เป็นเรื่องปกติที่จะใช้การบูรณาการโดยปริยายหรือกึ่งนัยเมื่อแหล่งกำเนิดมีความแข็งเช่นเดียวกับปัญหาปฏิกิริยาทางเคมีจำนวนมากและเมื่อมีการแพร่กระจายหรือการกระจายตัว ปฏิกิริยาเคมีมักจะสามารถแก้ไขได้โดยปริยายในแต่ละองค์ประกอบเพราะมันไม่ได้อยู่คู่กับเซลล์ข้างเคียง$u$$F$$G$$F$$G$

ความเร็วคลื่นคำนวณเราตรวจสอบค่าลักษณะเฉพาะของฟลักซ์จาโคเบียน= [ ∂ F / ∂ U ] หากเราตัดสินใจว่าระยะของคลื่นบางคลื่นนั้นไม่เป็นที่สนใจทางกายภาพเราอาจต้องการข้ามคลื่นนั้น$A = [\partial F/\partial u]$

ตัวอย่างเช่นหากคุณจำลองการวิวัฒนาการของมหาสมุทรมาเป็นเวลานานคุณอาจไม่สนใจคลื่นแรงโน้มถ่วงที่ผิวโลก (เช่นสึนามิ) แต่น่าเสียดายที่การเปลี่ยนความเร็วของคลื่น (อาจทำให้ช้าลงเพื่อใช้วิธีการที่ชัดเจนหรือเร่งความเร็วให้เป็นแบบ "ฝาแข็ง" ที่สามารถใช้การฉายภาพ) เปลี่ยนฟิสิกส์โดยการเปลี่ยนวิธีการกระจาย vortices กระแสน้ำวนในมหาสมุทรเป็นผลที่คลื่นแรงโน้มถ่วงเกือบจะสมดุลกับการพาความร้อน แต่ไม่มากนัก

อีกตัวอย่างหนึ่งคือออยเลอร์ที่บีบอัดได้เช่นการไหลของอากาศผ่านศูนย์ข้อมูล ความเร็วของคลื่นอะคูสติกนั้นเร็วกว่าการพาความร้อนและมีเพียงอันหลังเท่านั้นที่สำคัญสำหรับการถ่ายเทความร้อน หากคุณไม่สนใจเสียงคุณอาจต้องการใช้วิธีการโดยปริยาย

ประสิทธิภาพเชิงสัมพัทธ์ของวิธีการโดยนัยนั้นขึ้นอยู่กับต้นทุนในการแก้ปัญหาระบบพีชคณิตในแต่ละขั้นตอน / ขั้นตอนเปรียบเทียบกับขนาดขั้นตอนที่สามารถใช้กับวิธีการที่ชัดเจน การแก้ระบบพีชคณิตดังกล่าวได้อย่างมีประสิทธิภาพเป็นหัวข้อที่ใช้งานของการวิจัย (สร้างคำถามอื่นแล้วฉันจะตอบและอ้างอิงจากที่นี่)

คุณอาจต้องการใช้วิธีการโดยนัยหาก:

• สมการของคุณมีสถานะคงตัวที่มีความหมายซึ่งคุณต้องการสำรวจโดยตรงอาจใช้เพื่อกำหนดลักษณะความมั่นคง
• คุณกำลังแก้ไขปัญหาการผสมกลมกลืนของข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับประวัติที่ยาวนาน
• คุณต้องการหลีกเลี่ยงอุปสรรคในการสั่งซื้อเพื่อใช้วิธีการรวมเวลาสั่งซื้อที่สูงมากพร้อมคุณสมบัติความมั่นคงบางอย่าง
• คุณกำลังใช้วิธีการปรับตัวตามกาลเวลา
• คุณกำลังใช้การลดทอนเชิงพื้นที่ที่ต้องแก้ไขระบบพีชคณิต (เช่นวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ต่อเนื่องที่มีเมทริกซ์มวลสม่ำเสมอ)