การรวมตัวเลขกับการหารที่เป็นไปได้โดย 'ศูนย์'

ฉันกำลังพยายามที่จะรวม

$$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$$

ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงอย่างง่ายของ

$$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$$

การใช้ $t = \frac1{x}$เพราะเป็นการยากที่จะประมาณอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมเป็นตัวเลข อย่างไรก็ตามสิ่งนี้นำไปสู่ปัญหาในการประเมินอินทิเกรตใหม่และใกล้ศูนย์ มันจะง่ายมากที่จะได้จำนวนที่เหมาะสมของโหนดการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เห็นเนื่องจากช่วงเวลาเป็นเพียงความยาว 1 (ดังนั้นการเปรียบเทียบ$dt$ สามารถทำให้เล็กมาก) แต่สิ่งที่ควรพิจารณาในการบูรณาการใกล้ศูนย์?

ในบางระดับฉันคิดว่ามันง่าย $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ เป็นความคิดที่ดีที่ $\epsilon$มีจำนวนน้อย อย่างไรก็ตามฉันควรเลือกหมายเลขใด มันควรเป็น epsilon หรือไม่? การหารด้วยเครื่อง epsilon เป็นจำนวนเชิงปริมาณที่ดีหรือไม่? นอกจากนี้หากการแบ่งเครื่องของฉัน epsilon (หรือใกล้เคียง) ให้จำนวนมากอย่างไม่น่าเชื่อแล้วการ$\exp(\frac{1}{\epsilon})$ จะยิ่งใหญ่ขึ้น

ฉันจะบัญชีนี้ได้อย่างไร มีวิธีที่จะมีอินทิกรัลเชิงตัวเลขที่กำหนดไว้อย่างดีของฟังก์ชันนี้หรือไม่? ถ้าไม่เป็นวิธีที่ดีที่สุดในการรวมฟังก์ชั่นคืออะไร?

สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการรวมส่วนต่าง ๆ :

$$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$$ และดำเนินการต่อโดยการเหนี่ยวนำ $$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$$ ดังนั้น $$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$$ และ $I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$.

มีลักษณะที่QUADPACK มันมีงานประจำสำหรับการรวมเข้ากับโดเมนที่ไม่มีที่สิ้นสุด