วิศวกรมักยืนยันในการใช้วิธีการอนุรักษ์ในพื้นที่เช่นปริมาณ จำกัด ความแตกต่าง จำกัด แบบอนุรักษ์นิยมหรือวิธีการ Galerkin ที่ไม่ต่อเนื่องสำหรับการแก้ไข PDE
มีอะไรผิดพลาดเมื่อใช้วิธีการที่ไม่อนุรักษ์ท้องถิ่น?
โอเคดังนั้นการอนุรักษ์ในท้องถิ่นจึงมีความสำคัญสำหรับ PDE แบบไฮเพอร์โบลิกแล้ว PDEs รูปไข่ล่ะ
คำตอบ:
ในการแก้ปัญหาของ PDE แบบไฮเปอร์โบลิคแบบไม่เชิงเส้นความไม่ต่อเนื่อง ("แรงกระแทก") จะปรากฏขึ้นแม้ว่าสภาพเริ่มต้นจะราบรื่น ในการปรากฏตัวของความไม่ต่อเนื่องแนวคิดของการแก้ปัญหาสามารถกำหนดได้เฉพาะในความรู้สึกที่อ่อนแอ ความเร็วเชิงตัวเลขของการกระแทกนั้นขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของ Rankine-Hugoniot ที่ถูกต้องซึ่งจะขึ้นอยู่กับกฎการอนุรักษ์เชิงบูรณาการภายในประเทศ Lax-Wendroff ทฤษฎีบทรับประกันว่าวิธีการเชิงตัวเลขมาบรรจบกันจะมาบรรจบกันในการแก้ปัญหาที่อ่อนแอของกฎหมายอนุรักษ์การผ่อนชำระเฉพาะในกรณีที่วิธีการที่เป็นอนุรักษ์นิยม
ไม่เพียง แต่คุณจะต้องใช้วิธีการอนุรักษ์เท่านั้น แต่ที่จริงแล้วคุณจำเป็นต้องใช้วิธีการที่ประหยัดปริมาณที่เหมาะสม มีตัวอย่างที่ดีที่อธิบายสิ่งนี้ใน "วิธีไฟไนต์โวลุ่มสำหรับปัญหาการผ่อนชำระของ LeVeque" หัวข้อ 11.12 และมาตรา 12.9 หากคุณแยกสมการเบอร์เกอร์ออก
ผ่าน discretization ที่สอดคล้องกัน
คุณจะสังเกตเห็นว่าแรงกระแทกเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่ผิดไม่ว่าคุณจะปรับแต่งกริดมากแค่ไหนก็ตาม นั่นคือการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขจะไม่บรรจบกันเพื่อแก้ปัญหาที่แท้จริง ถ้าคุณใช้ discretization อนุรักษ์นิยมแทน
แรงกระแทกจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่ถูกต้อง (ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของสถานะทางซ้ายและทางขวาของการกระแทกสำหรับสมการนี้) ตัวอย่างนี้คือตัวอย่างในนี้โน้ตบุ๊ค IPython ผมเขียน
สำหรับไฮเพอร์โบลิกเชิงเส้น PDEs และสำหรับ PDE ประเภทอื่นซึ่งโดยทั่วไปมีวิธีการแก้ปัญหาที่ราบรื่นการอนุรักษ์ในท้องถิ่นไม่ได้เป็นส่วนผสมที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้า อย่างไรก็ตามมันอาจมีความสำคัญสำหรับเหตุผลอื่น ๆ (เช่นหากมวลรวมเป็นปริมาณดอกเบี้ย)
ฉันคิดว่าหนึ่งคำตอบสำหรับคำถามของคุณคือชุมชนบางแห่งใช้รูปแบบอนุรักษ์นิยมอยู่เสมอดังนั้นมันจึงกลายเป็นส่วนหนึ่งของ "วิธีที่ทำไปแล้ว" บางคนอาจโต้แย้งว่านั่นเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการทำสิ่งนั้น แต่นั่นเป็นเรื่องที่มีผลมากพอ ๆ กับการขอให้ชาวอังกฤษขับรถทางด้านขวาเพราะมันจะสะดวกกว่าที่จะมีแค่มาตรฐาน
หลายครั้งที่สมการที่ต้องแก้นั้นเป็นกฎหมายอนุรักษ์ทางกายภาพ ตัวอย่างเช่นสมการออยเลอร์สำหรับพลศาสตร์ของไหลเป็นการแสดงการอนุรักษ์มวลโมเมนตัมและพลังงาน เนื่องจากความเป็นจริงพื้นฐานที่เรากำลังสร้างแบบจำลองนั้นค่อนข้างอนุรักษ์นิยมจึงเป็นข้อได้เปรียบในการเลือกวิธีการที่อนุรักษ์นิยมเช่นกัน
คุณยังสามารถเห็นบางสิ่งที่คล้ายกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า กฎของแมกซ์เวลล์รวมถึงเงื่อนไขที่ไม่แตกต่างสำหรับสนามแม่เหล็ก แต่สมการนั้นไม่ได้ใช้สำหรับการวิวัฒนาการของสนามเสมอไป วิธีการที่รักษาเงื่อนไขนี้ (ตัวอย่างเช่น: การขนส่งที่ จำกัด ) ช่วยให้ตรงกับฟิสิกส์ของความเป็นจริง
แก้ไข: @hardmath ชี้ให้เห็นว่าฉันลืมที่จะพูดถึงส่วน "สิ่งที่อาจผิดพลาด" ของคำถาม (ขอบคุณ!) คำถามนี้อ้างถึงวิศวกรโดยเฉพาะ แต่ฉันจะให้ตัวอย่างสองสามอย่างจากสาขาของฉัน (ฟิสิกส์ดาราศาสตร์) และหวังว่าพวกเขาจะช่วยอธิบายความคิดที่มากพอที่จะพูดถึงสิ่งที่อาจผิดไปในแอปพลิเคชันทางวิศวกรรม
(1) เมื่อทำการจำลองซูเปอร์โนวาคุณมีพลศาสตร์ของไหลที่เชื่อมโยงกับเครือข่ายปฏิกิริยานิวเคลียร์ (และฟิสิกส์อื่น ๆ แต่เราจะไม่สนใจมัน) ปฏิกิริยานิวเคลียร์หลายอย่างขึ้นอยู่กับอุณหภูมิซึ่ง (เพื่อประมาณอันดับหนึ่ง) เป็นตัวชี้วัดของพลังงาน ถ้าคุณล้มเหลวในการอนุรักษ์พลังงานอุณหภูมิของคุณจะสูงเกินไป (ในกรณีที่ปฏิกิริยาของคุณทำงานเร็วเกินไปและคุณแนะนำพลังงานมากขึ้นและคุณได้รับพลังงานที่ไม่ควรมีอยู่) หรือต่ำเกินไป (ซึ่งในกรณีนี้ปฏิกิริยาของคุณ วิ่งช้าเกินไปและคุณจะไม่สามารถสร้างพลังซูเปอร์โนวาได้)
(2) เมื่อทำการจำลองดาวคู่คุณจำเป็นต้องสร้างสมการโมเมนตัมใหม่เพื่อเป็นการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม หากคุณล้มเหลวในการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมดวงดาวของคุณจะไม่สามารถโคจรรอบกันและกันได้อย่างถูกต้อง หากพวกเขาได้รับโมเมนตัมเชิงมุมพวกเขาแยกและหยุดการโต้ตอบอย่างถูกต้อง หากสูญเสียโมเมนตัมเชิงมุมพวกเขาชนกัน ปัญหาที่คล้ายกันเกิดขึ้นเมื่อทำการจำลองดิสก์ของดาวฤกษ์ การอนุรักษ์โมเมนตัม (เชิงเส้น) เป็นสิ่งที่น่าพึงพอใจเนื่องจากกฎของฟิสิกส์อนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น แต่บางครั้งคุณต้องละทิ้งโมเมนตัมเชิงเส้นและอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมเพราะนั่นเป็นสิ่งสำคัญต่อปัญหาในมือ
ฉันต้องยอมรับแม้จะอ้างถึงเงื่อนไขที่ปราศจากความแตกต่างของสนามแม่เหล็กฉันก็ไม่มีความรู้ ความล้มเหลวในการรักษาสภาพที่ปราศจากความแตกต่างสามารถสร้างโมโนโพลแม่เหล็ก (ซึ่งเรายังไม่มีหลักฐานในปัจจุบัน) แต่ฉันไม่มีตัวอย่างที่ดีเลยในเรื่องของปัญหาที่อาจทำให้เกิดการจำลอง
วันนี้ฉันได้พบกับโครงการ EMAC สำหรับการจำลอง Navier-Stokes และการประยุกต์ใช้การไหลของร่างกายในอดีตบลัฟฟ์และสังเกตเห็นส่วนที่ 1.2 ของมันตอบคำถามของ OP อย่างน้อยบางส่วน ชิ้นส่วนที่เกี่ยวข้องคือ:
เป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางในชุมชนการคำนวณพลศาสตร์ของไหล ( CFD ) ว่ายิ่งฟิสิกส์ถูกสร้างขึ้นในการแยกส่วนมากความแม่นยำและเสถียรภาพของการแก้ปัญหาโดยสิ้นเชิงก็ยิ่งมากขึ้น N. Phillips ในปี 1959 [42] ได้ สร้างตัวอย่างสำหรับสมการความแปรปรวนแบบไม่เชิงเส้นแบบบาโรโทรปิก (ใช้รูปแบบ จำกัด ผลต่าง) ซึ่งการรวมคำศัพท์การพาความร้อนเป็นเวลานานทำให้เกิดความล้มเหลวของการจำลองเชิงตัวเลขสำหรับทุกขั้นตอน ใน [4] อาราคาวะแสดงให้เห็นว่าเราสามารถหลีกเลี่ยงปัญหาความไม่มั่นคงกับการบูรณาการเป็นเวลานานหากพลังงานจลน์และความเป็น Enstrophy (ใน 2D) ได้รับการอนุรักษ์โดยแผนการลดทอน …. ในปี 2547 หลิวและหวางพัฒนาขึ้นเพื่ออนุรักษ์พลังงานและพลังงานสำหรับกระแสสามมิติ ใน [35]พวกเขานำเสนอรูปแบบพลังงานและการอนุรักษ์ helicity สำหรับกระแสแกนสมมาตร พวกเขายังแสดงให้เห็นว่าโครงการอนุรักษ์คู่ของพวกเขาไม่จำเป็นต้องมีความหนืดเชิงตัวเลขขนาดใหญ่แบบ nonphysical ...
…เป็นที่ทราบกันมานานหลายทศวรรษใน CFD ว่าปริมาณทางกายภาพมากขึ้นจะได้รับการอนุรักษ์โดยรูปแบบไฟไนต์เอลิเมนต์การทำนายที่แม่นยำยิ่งขึ้นโดยเฉพาะในช่วงเวลาที่ยาวนาน ดังนั้นการแก้ปัญหาโดยโครงการที่แม่นยำยิ่งขึ้นก็มีความเกี่ยวข้องกับร่างกายมากกว่า หากใครสามารถจ่ายตาข่ายที่ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์และขั้นตอนเวลาเล็ก ๆ น้อย ๆ แบบแผนองค์ประกอบไฟไนต์ที่ใช้กันทั่วไปทั้งหมดเชื่อว่าจะให้วิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขแบบเดียวกัน อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติเราไม่สามารถจ่ายตาข่ายที่ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ในแบบจำลอง 3 มิติโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปัญหาที่ขึ้นกับเวลา ตัวอย่างเช่นในบทที่ 2 เราต้องการเวลา 50-60,000 ขั้นตอนซึ่งแต่ละขั้นตอนต้องแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นที่กระจัดกระจายที่มี 4 ล้านนิรนาม สิ่งนี้ต้องใช้เวลาในการคำนวณ 2-3 สัปดาห์โดยมีรหัสที่ขนานกันอย่างมากใน 5 โหนดที่มี 24 คอร์แต่ละอัน