วิธีการใดสามารถมั่นใจได้ว่าปริมาณทางกายภาพยังคงเป็นบวกตลอดการจำลอง PDE

ปริมาณทางกายภาพเช่นความดันความหนาแน่นพลังงานอุณหภูมิและความเข้มข้นควรเป็นค่าบวกเสมอ แต่วิธีการเชิงตัวเลขบางครั้งก็คำนวณค่าลบในระหว่างกระบวนการแก้ปัญหา สิ่งนี้ไม่เป็นไรเพราะสมการจะคำนวณค่าที่ซับซ้อนหรือไม่มีที่สิ้นสุด วิธีการเชิงตัวเลขใดที่สามารถใช้เพื่อรับประกันว่าปริมาณเหล่านี้ยังคงเป็นบวก วิธีใดที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด

วิธีที่พบมากที่สุดคือการรีเซ็ตค่าลบให้เป็นจำนวนบวกจำนวนเล็กน้อย แน่นอนว่านี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ วิธีการทั่วไปที่ดีกว่าซึ่งอาจใช้งานได้และง่ายคือการลดขนาดของขั้นตอนเวลาของคุณ

ค่าลบมักเกิดขึ้นในสารละลายของไฮเพอร์โบลิก PDEs เนื่องจากการปรากฏตัวของแรงกระแทกสามารถนำไปสู่การแกว่งซึ่งจะมีแนวโน้มที่จะสร้างค่าลบหากมีสถานะใกล้สูญญากาศใกล้กับการกระแทก การใช้รูปแบบการลดลงทั้งหมด (TVD)หรือวิธีอื่น ๆ ที่ไม่ผันผวน ( ENO, WENO ) สามารถลดแนวโน้มนี้ได้ วิธีการเหล่านั้นขึ้นอยู่กับการใช้ตัว จำกัด แบบไม่เชิงเส้นเพื่อคำนวณอนุพันธ์ของการแก้ปัญหา อย่างไรก็ตามคุณอาจยังได้รับค่าลบด้วยเหตุผลหลายประการ:

• หากคุณใช้วิธีการของเส้นและใช้ตัวรวบรวมเวลาที่มีลำดับสูง รูปแบบ TVD ส่วนใหญ่เป็นรูปแบบ TVD เฉพาะในรูปแบบกึ่งแยกหรือด้วยวิธีของออยเลอร์ สำหรับการรวมเวลาในการสั่งซื้อที่สูงขึ้นคุณควรใช้discretization เวลาที่มีความเสถียรสูง (SSP) แผนการเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่า "contractive" หรือ "monotonicity รักษา" มีหนังสือเล่มล่าสุดเกี่ยวกับเรื่องนี้โดย Sigal Gottlieb, Chi-Wang Shu และตัวฉันเอง
• หากคุณไม่ได้ใช้การแบ่งแยกแบบโลคอลสำหรับระบบของสมการโซลูชันของคุณจะไม่เป็น TVD (โครงร่าง TVD มีคุณสมบัตินั้นสำหรับปัญหาสเกลาร์เท่านั้น) ดังนั้นจึงเป็นการดีที่สุดที่จะสร้าง / สอดแทรกในตัวแปรคุณสมบัติ
• หากคุณมีระบบไม่เชิงเส้นค่าลบสามารถเกิดขึ้นได้แม้ว่าคุณจะใช้การสลายตัวคุณลักษณะเฉพาะที่ ตัวอย่างเช่นตัวแก้ Riemann เชิงเส้นใด ๆ (เช่นตัวแก้สมการไข่ปลา) สำหรับสมการน้ำตื้นหรือสมการออยเลอร์สามารถแสดงเพื่อสร้างค่าลบในเงื่อนไขที่ท้าทายอย่างเพียงพอ ทางออกคือการใช้ตัวแก้ HLL (หรือตัวแปรของ HLL); บางส่วนของพวกเขาเป็นบวกอย่างพิสูจน์
• รูปแบบ TVD เป็นคำสั่งที่สองเท่านั้น รูปแบบที่ไม่ใช่ออสซิลเลเตอร์สูงกว่าเช่น WENO ไม่เป็นไปตามหลักการ TVD หรือหลักการสูงสุดอย่างเคร่งครัด แต่การปรับเปลี่ยนใหม่ของรูปแบบลำดับสูงเหล่านั้นไม่; มันได้รับการพัฒนาในหลายเอกสารล่าสุดโดย Xiangxiong จาง (นักเรียนของ Chi-Wang Shu)

แน่นอนว่ามีวิธีการพิเศษอื่น ๆ อีกมากมายสำหรับสมการเฉพาะเช่นในโค้ด GeoClaw ของ David George ซึ่งใช้ตัวแก้ Riemann กับคลื่นที่ไม่ใช่ทางกายภาพพิเศษเพื่อบังคับใช้ positivity

สมมติว่าเรากำลังแก้สมการไฮเพอร์โบลิกโดยไม่มีแหล่งที่มาและสมมติว่าเราให้เงื่อนไขเริ่มต้นทางกายภาพเพื่อให้แน่ใจว่ารูปแบบตัวเลขที่เราใช้คือการแปรผันโดยรวมการลดขนาดเป็นวิธีที่ดีในการรับรอง เนื่องจากโครงการ TVD รักษาความน่าเบื่อหน่ายจะไม่มีการสร้าง minima หรือ maxima ใหม่และวิธีแก้ปัญหาจะยังคงถูก จำกัด ขอบเขตโดยค่าเริ่มต้นที่เราหวังว่าจะตั้งอย่างถูกต้อง แน่นอนปัญหาคือแผนการ TVD ไม่ใช่สิ่งที่ชัดเจนที่สุด ในรูปแบบเชิงเส้นแผนการสั่งซื้อครั้งแรกเท่านั้นคือ TVD (Godunov 1954) ดังนั้นตั้งแต่ยุค 50 เป็นต้นมาได้มีการพัฒนาโครงร่าง TVD ที่ไม่ใช่แบบเส้นตรงหลากหลายรูปแบบเพื่อรวมความแม่นยำสูงและความซ้ำซ้อนสำหรับการแก้สมการไฮเพอร์โบลิก

สำหรับแอปพลิเคชันของฉันการแก้สมการเนเวียร์สโตกส์ด้วยการไล่ระดับสีแรงดัน / ความหนาแน่นสูงเราใช้รูปแบบไฮบริดMUSCL -ศูนย์กลางเพื่อบันทึกการไล่ระดับสี / ความไม่ต่อเนื่องขนาดใหญ่และรักษาความถูกต้อง โครงการ MUSCL แรก (MUSCL ย่อมาจาก Monotone Upstream-Centered Schemes สำหรับกฎหมายการอนุรักษ์) ถูกคิดค้นโดย Van Leer ในปี 1979

หากคุณต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้โปรดศึกษาผลงานของ Harten, Van Leer, Lax, Sod และ Toro

คำตอบข้างต้นนำไปใช้กับปัญหาที่ขึ้นอยู่กับเวลา แต่คุณสามารถเรียกร้องบวกในสมการรูปไข่ที่เรียบง่าย ในกรณีนี้คุณสามารถกำหนดให้มันเป็นความไม่เท่าเทียมกันของตัวแปรให้ขอบเขตสำหรับตัวแปร

ใน PETSc มีตัวแก้ปัญหา VI สองตัว วิธีการหนึ่งใช้วิธีการลดพื้นที่ซึ่งตัวแปรในข้อ จำกัด การใช้งานจะถูกลบออกจากระบบที่จะแก้ไข การใช้งานอื่น ๆกึ่งเรียบวิธีของนิวตัน

$A$

$$Au = b$$ $A$$A^{-1}$

$B\in\mathbb{R}^{n \times n}$$B\geq0$$B$

$$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$$

$A$

$$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$$ $b$$b\geq 0$

โดยทั่วไปรูปแบบ discretization ที่นำไปสู่ ​​M-matrix เรียกว่าแผนการ monotone และนี่คือรูปแบบเหล่านั้นซึ่งรักษาแบบไม่ปฏิเสธ