PDE ในหลายมิติ

ฉันรู้ว่าวิธีการส่วนใหญ่ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณสำหรับ PDE นั้นขยายขนาดได้ไม่ดีเท่าจำนวนมิติและ Monte Carlo ใช้สำหรับสถานการณ์ที่เรียกว่า ~ 100 มิติ

อะไรคือวิธีที่ดีในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขอย่างมีประสิทธิภาพในช่วง 4-10 มิติ? 10-100?

มีวิธีการอื่นใดนอกเหนือจาก Monte Carlo ที่ขยายได้ดีกับจำนวนมิติหรือไม่?

pde monte-carlo high-dimensional

— แดน
แหล่งที่มา

อาจช่วยให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหาที่คุณแก้ไข PDE ส่วนใหญ่จัดการในวิทยาศาสตร์การคำนวณมีแนวโน้มที่จะเป็นสี่มิติมากที่สุด (เวลาบวกมิติเชิงพื้นที่สามมิติ) ตัวแปรอวกาศหรือตัวแปรเวลาหรือมีการอ้างอิงอื่น ๆ ที่คุณรวมถึง?

— aeismail

ตัวแปรเชิงพื้นที่ ในกลศาสตร์ควอนตัถ้าคุณไม่ต้องการที่จะทำให้การประมาณที่คุณใช้ในความหนาแน่นของทฤษฎีการทำงานหรือ Hartree-Fock, wavefunction เป็น

มิติที่

คือจำนวนของอิเล็กตรอน ดังนั้นแม้แต่อะตอมและโมเลกุลขนาดเล็กก็จำเป็นต้องมีมิติข้อมูลจำนวนมากเพื่อจัดการอย่างถูกต้อง

3 n

$3n$

n

$n$

— Dan

ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่คุณต้องการรู้เกี่ยวกับโซลูชัน ไม่มีใครอยากรู้รายละเอียดเกี่ยวกับฟังก์ชั่นคลื่น

-electron ดังนั้นเราต้องใช้เทคนิคการคำนวณกับข้อมูลที่ต้องการ

n

$n$

— อาร์โนลด์ Neumaier

โปรดอ้างอิงสำหรับการแก้ปัญหา Monte Carlo ของสมการชโรดิงเงออิเล็กทรอนิกส์ใน 100 มิติ

— Arnold Neumaier

ฉันไม่มีการอ้างอิง ฉันได้ยินเพียงการจำลองสถานการณ์ในหลายมิติที่ใช้สำหรับ QCD ฉันแค่มองหาที่จะทำการจำลอง Schroedinger ใน 4-5 มิติ แต่ฉันสงสัยว่ามีอะไรนอกเหนือจาก monte carlo ที่ปรับขนาดได้ดีตามจำนวนมิติและ 100 นั้นดูเหมือนว่าจะเป็นตัวเลขกลมขนาดใหญ่ที่ดีเพื่อให้ได้ขนาด asymptotic

— ด่าน

คำตอบ:

วิธีที่มีโครงสร้างมากขึ้นของการให้พื้นฐานหรือการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (ซึ่งอาจแทนที่ MC ในหลาย ๆ กรณี) ในหลายมิติคือการกระจัดกระจายกริดซึ่งรวมครอบครัวบางส่วนของกฎมิติหนึ่งของลำดับที่แตกต่างกันในลักษณะที่จะมีการเติบโตชี้แจงเพียง มิติมากกว่าที่มีจะเป็นมิติที่เป็นสัญลักษณ์ของความละเอียด d $2^d$ $N^d$

สิ่งนี้ทำผ่านสิ่งที่เรียกว่าการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Smolyak ซึ่งรวมชุดของกฎหนึ่งมิติเป็น $Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

นี่เทียบเท่ากับพื้นที่สร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์โดยมีคำสั่งผสมสูงออกจากพื้นที่ หากสิ่งนี้ทำในแบบที่รุนแรงพอความซับซ้อนอาจจะดีขึ้นอย่างมาก อย่างไรก็ตามเพื่อให้สามารถทำเช่นนี้และรักษาประมาณที่ดีความสม่ำเสมอของการแก้ปัญหาจะต้องมีอนุพันธ์ที่ผสมกันอย่างเพียงพอ

กริดกระจัดกระจายได้ถูกพ่ายแพ้ให้ตายโดยกลุ่ม Griebel สำหรับสิ่งต่าง ๆ เช่นสมการชโรดิงเงอร์ในพื้นที่การกำหนดค่าและสิ่งที่มีมิติสูง อื่น ๆ ที่มีผลลัพธ์ที่ดีงาม ในแอปพลิเคชันฟังก์ชั่นพื้นฐานที่ใช้นั้นอาจจะค่อนข้างทั่วไปตราบใดที่คุณสามารถซ้อนมันได้ ตัวอย่างเช่นคลื่นระนาบหรือฐานลำดับชั้นเป็นเรื่องปกติ

มันค่อนข้างง่ายที่จะเขียนโค้ดด้วยตัวเอง จากประสบการณ์ของฉันจริง ๆ แล้วให้มันทำงานสำหรับปัญหาเหล่านี้อย่างไรยากมาก มีบทช่วยสอนที่ดีอยู่

สำหรับปัญหาที่มีการแก้ปัญหาอยู่ในเฉพาะพื้นที่ Sobolev เนื้อเรื่องสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่รวดเร็วตายวิธีตารางเบาบางอาจผลผลิตแม้ผลลัพธ์ที่ยิ่งใหญ่

ดูเพิ่มเติมกระดาษรีวิว Acta Numerica, discretizations เมตริกซ์เบาบางของพาราสูงมิติและโคนสุ่ม

— Peter Brune
แหล่งที่มา

มีตัวอย่างที่รู้จักกันดีในกรณีที่การกระจัดกระจายไม่สามารถใช้ได้หรือไม่?

— MRocklin

คุณต้องมีระเบียบที่จะถือ นอกจากนี้หากคุณมี cusps มิติสูงที่น่ารังเกียจ (เช่นใน QM) คุณจะต้องระมัดระวัง ผมได้ยินเรื่องราวบางอย่างเกี่ยวกับก๊กเบาบางตารางเริ่มต้นที่จะยอมรับ (พร้อมด้วยหลักฐานอันแม้) ว่ามันไม่ได้ว่าดีกว่าที่มอนติคาร์โล แต่ไม่สามารถหาแหล่งอ้างอิงที่ดี

— Peter Brune

ทีนี้กระดาษบนกระจัดกระจายสำหรับนักเขียนที่คุณอ้างถึงนั้นมีเพียงอิเล็กตรอน 2 ตัวเท่านั้น มีอิเล็กตรอนกี่ตัวที่สามารถนำไปใช้งานได้จริง

— อาร์โนลด์ Neumaier

ตามกฎทั่วไปมันง่ายที่จะเข้าใจว่าทำไมกริดปกติไม่สามารถไปไกลเกินกว่าปัญหา 3 หรือ 4 มิติ: ในมิติ d ถ้าคุณต้องการมีจุดต่ำสุด N จุดต่อทิศทางการประสานงานคุณจะได้ N ^ d คะแนนโดยรวม แม้แต่ฟังก์ชั่นที่ค่อนข้างดีใน 1d คุณต้องมีอย่างน้อย N = 10 กริดพอยท์เพื่อแก้ปัญหาเลยดังนั้นจำนวนคะแนนโดยรวมจะเท่ากับ 10 ^ d - เช่นแม้กระทั่งบนคอมพิวเตอร์ที่ใหญ่ที่สุดที่คุณไม่ต้องการไปไกล = 9 และอาจจะไม่ไปมากเกินที่เคย กริดกระจัดกระจายสามารถช่วยได้ในบางกรณีหากฟังก์ชั่นการแก้ปัญหามีคุณสมบัติบางอย่าง แต่โดยทั่วไปคุณจะต้องอยู่กับผลของการสาปแช่งของมิติและไปด้วยวิธีการ MCMC

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

MCMC หมายถึงอะไร

— ด่าน

มาร์คอฟเชนมอนติคาร์โล: en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain_Monte_Carlo

— Jack Poulson

$d=4,...,100$ $d=100,101,...\infty$

— พอล
แหล่งที่มา

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

10^{7}

$10^7$

C^{k, α}

$C^{k,\alpha}$