การคำนวณปัจจัย Cholesky

ดังนั้นทฤษฎีบทการสลายตัวของโคลเลสกี้ระบุว่าเมทริกซ์บวกแน่นอนที่แน่นอนใด ๆมีการสลายตัวของ Cholesky M = L L ⊤โดยที่Lเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง$M$$M= LL^\top$$L$

ได้รับเรารู้อยู่แล้วว่ามีขั้นตอนวิธีการอย่างรวดเร็วในการคำนวณปัจจัย Cholesky ของL$M$$L$

ทีนี้สมมติว่าฉันได้รับเมทริกซ์A ขนาดและฉันรู้ว่าA ⊤ Aนั้นเป็นค่าบวกแน่นอน มีวิธีคำนวณ Cholesky factor LของA ⊤ Aโดยไม่ต้องคำนวณA ⊤ Aอย่างชัดเจนแล้วใช้อัลกอริธึมการแยกตัวประกอบของ Cholesky หรือไม่?$m\times n$$A$$A^\top A$$L$$A^\top A$$A^\top A$

ถ้าเป็นเมทริกซ์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่มากที่ดำเนินการA ⊤ Aดูเหมือนว่าจะมีราคาแพงและคำถามนี้$A$$A^\top A$

ใช่คุณสามารถรับปัจจัย (สูงสุดถึงสัญญาณของรายการ) โดยใช้การย่อยสลาย QR; ดูคำตอบนี้ โปรดทราบว่าหากสิ่งที่คุณสนใจคือการแก้ปัญหากำลังสองน้อยที่สุดซึ่งนำไปสู่สมการปกติที่เกี่ยวข้องกับคุณสามารถใช้การสลาย QR ได้โดยตรง$A^T A$

ใช่. คำนวณการแยกตัวประกอบและรับL = R T ; rescale แถวของRถ้าจำเป็น (โดยการเปลี่ยนสัญญาณบางส่วน) เพื่อให้สัญลักษณ์ของเส้นทแยงมุม nonnegative (เป็นปัจจัย Cholesky ถูกกำหนดให้มีเส้นทแยงมุม nonnegative)$QR$$L=R^T$$R$

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ QR กระจัดกระจายดูได้ที่ http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408