กลยุทธ์สำหรับวิธีการของนิวตันเมื่อจาโคเบียนที่ทางออกเป็นเอกพจน์

ฉันพยายามแก้ระบบสมการต่อไปนี้สำหรับตัวแปรและ (ทั้งหมดเป็นค่าคงที่):$P,x_1$$x_2$

$$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$$

ฉันสามารถเห็นว่าฉันสามารถเปลี่ยนระบบสมการนี้เป็นสมการเดียวของตัวแปรเดียวโดยการแก้สมการ 1 และ 2 สำหรับและตามลำดับและแทนพวกเขาเป็นสมการ 3 ในการทำเช่นนั้นฉันสามารถใช้ matlab's คำสั่งเพื่อค้นหาวิธีแก้ไข โดยใช้พารามิเตอร์ ,และผมพบว่าวิธีการแก้ปัญหาที่แท้จริงจะเป็นP$(P)$$x_1$$x_2$fzero$k_1=k_2=1$$r_1=r_2=0.2$$A=2$$P=x_1=x_2=0.5$

อย่างไรก็ตามเมื่อฉันใช้วิธีของนิวตันนำไปใช้กับระบบสมการ 3 แบบเดิม - 3 สมการการวนซ้ำไม่เคยมาบรรจบกันกับการแก้ปัญหาไม่ว่าฉันจะเริ่มใกล้ทางออกจริงมากแค่ไหน*) $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

ตอนแรกฉันสงสัยว่าบั๊กของฉันในการใช้วิธีการของนิวตัน หลังจากตรวจสอบหลายครั้งฉันไม่พบข้อผิดพลาด จากนั้นฉันลองใช้การคาดเดาเริ่มต้นและเห็น: Jacobian เป็นเอกพจน์ ฉันรู้ว่าจาโคเบียนที่เป็นเอกเทศสามารถลดลำดับการรวมตัว แต่ฉันไม่คิดว่ามันจะช่วยป้องกันการลู่เข้าสู่ทางออกที่แท้จริงได้ $x_0=x^*$

ดังนั้นคำถามของฉันคือว่าจาโคเบียนของระบบที่ทางออกที่แท้จริงคือเอกพจน์:

1. มีเงื่อนไขอื่นใดอีกบ้างที่จำเป็นในการพิสูจน์ว่าวิธีการของนิวตันจะไม่มาบรรจบกับราก?

2. กลยุทธ์โลกาภิวัตน์ (เช่นการค้นหาบรรทัด) รับประกันการบรรจบกันแม้ว่าจาโคเบียนจะเป็นเอกเทศหรือไม่

(1): ขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของอนุพันธ์ของยาโคบเบียน (sic!) ในพื้นที่ว่างของยาโคเบียนในการแก้ปัญหา ในทางปฏิบัติไม่มีใครคำนวณอนุพันธ์เหล่านี้และฉันก็ไม่ได้รำคาญที่จะจำเงื่อนไขที่แม่นยำ

(2) งานแม้ว่าการบรรจบกันเป็นเชิงเส้นเท่านั้น

ในการรับการบรรจบแบบเส้นตรง (อย่างน้อยก็ในกรณีส่วนใหญ่) วิธีการหนึ่งอาจใช้วิธีเมตริกซ์ ดูเช่น
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ ดัชนี / X5G827367G548327.pdf

แทนที่จะเป็นเส้นค้นหาคุณอาจจะลองปรับเปลี่ยนวิธีการของนิวตันของคุณไปยังขั้นตอนวิธีการ Levenberg-Marquardt การใช้งานนั้นง่ายพอหากคุณใช้ Matlab