ตัวแก้ PDE สำหรับการกระจายแบบดริฟท์และแบบจำลอง

ฉันพยายามจำลองโมเดลเซมิคอนดักเตอร์พื้นฐานเพื่อวัตถุประสงค์ในการสอน - เริ่มต้นจากแบบจำลองการกระจายแบบดริฟท์ ถึงแม้ว่าฉันไม่ต้องการใช้ตัวจำลองเซมิคอนดักเตอร์แบบ off-the-shelf - ฉันจะเรียนรู้โมเดล (ทั่วไปล่าสุดหรือคลุมเครือ) รุ่นอื่น แต่ฉันต้องการใช้ตัวแก้ PDE แบบปิดชั้นวาง

แต่สำหรับกรณี 1D แบบง่ายโมเดลการแพร่กระจายแบบดริฟท์ยังประกอบด้วย PDE ที่ไม่ใช่เชิงเส้นจำนวนมาก:

สมการความหนาแน่นกระแส

J_{n} = q n (x) μ_{n} E (x) + q D_{n} \nabla n

$J_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n$

J_{p} = q p (x) μ_{p} E (x) + q D_{p} \nabla p

$J_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p$

สมการความต่อเนื่อง

\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{n} + U_{n}

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n + U_n$

\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{p} + U_{p}

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p + U_p$

Poisson สม

\nabla \cdot (ϵ \nabla V) = - (p - n + N_{D}^{+} - N_{A}^{-})

$\nabla \cdot (\epsilon \nabla V) = -(p - n + N_D^+ - N_A^-)$

และเงื่อนไขขอบเขตจำนวนหนึ่ง

ฉันได้ลองใช้ตัวแก้ปัญหา FEM ของไพธ อนแล้วFEniCS / DolfinและSfePyแต่ไม่มีโชคเพราะไม่สามารถกำหนดพวกมันในรูปแบบความแปรปรวนอ่อนแอด้วยฟังก์ชั่นการทดสอบ

แน่นอนว่ามีตัวเลือกในการนำโซลูชันตัวเลขมาใช้ตั้งแต่เริ่มต้น แต่ฉันยังไม่ได้ศึกษา FEM / ตัวเลขอย่างละเอียดดังนั้นฉันหวังว่ามันจะไม่ใช่ตัวเลือกเดียวของฉันเนื่องจากฉันไม่ต้องการประสบปัญหาเชิงตัวเลข

มีแพคเกจ (pref. โอเพนซอร์ส) ที่จะใช้สมการเหล่านี้ในรูปแบบนั้นและแก้ปัญหาเหรอ หรืออาจเป็นรูปแบบความแปรปรวนที่เครื่องมือต้องการไม่ใช่เรื่องยาก? ไม่ว่าในกรณีใดตัวเลือกของฉันคืออะไร

ขอบคุณ

แก้ไข: พยายามกำหนดรูปแบบความแปรปรวนแบบอ่อนสำหรับ FEniCS / Dolfin หรือ SfePy

$u_V$

\frac{\partial n}{\partial t} = \nabla \cdot (C_{1} n \nabla V + C_{2} \nabla n) + U

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \nabla \cdot (C_1 n \nabla V +C_2\nabla n) + U$

C_{1}, C_{2}

$C_1, C_2$

U, n, p, V

$U, n, p, V$

$f_n$

\int_{Ω} f_{n} \frac{n - n_{1}}{Δ t} d Ω - C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω - C_{2} \int_{Ω} f_{n} \nabla^{2} n d Ω - \int_{Ω} f_{n} U d Ω

$\int_{\Omega}f_n\frac{n - n_1}{\Delta t}d\Omega - C_1 \int_{\Omega}f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega - C_2 \int_{\Omega}f_n \nabla^2 n d\Omega - \int_{\Omega}f_n U d\Omega$

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega$

$\mathbf{\nabla V}$ $V, u_n, n$ $\nabla \cdot \phi \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla \phi} + \phi \nabla \cdot \mathbf{A}$

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω = C_{1} \int_{Ω} f_{n} (\nabla V \cdot \nabla n) + C_{1} \int_{Ω} f_{n} n \nabla \cdot \nabla V

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega = C_1 \int_{\Omega} f_n (\nabla V \cdot \nabla n) + C_1 \int_{\Omega} f_n n \nabla \cdot \nabla V$

เนื่องจาก V ถูกแก้ไขโดยสมการปัวซองเราสามารถใช้ค่าที่คำนวณได้เร็ว ๆ นี้ตามที่อนุญาตในซอฟต์แวร์ Dolfin / FEniCS และลดความซับซ้อนของวิธีที่เราปฏิบัติต่อ V ในสมการที่สองนี้หรือไม่ เทคนิคเหล่านี้ทำงานในขณะที่แยกส่วน (เช่น Gummel, ... ) ซึ่งฉันไม่ได้ทำในตัวแก้ไขที่พร้อมใช้งานเหล่านี้!

$J_n$ $n$ $J_n, J_p, n, p, V$ $J_n$

pde

— Weaam
แหล่งที่มา

ทำไมคุณไม่เขียนฟอร์มที่อ่อนแอของพวกเขา?

— Bill Barth

@BillBarth ฉันแก้ไขคำถามของฉันโปรดดู ขอบคุณ

— Weaam

การรวมกลุ่มของคุณผิด ตรวจสอบสูตรมีสัญญาณหายไปคุณมีอนุพันธ์ทางด้านขวามากกว่าทางซ้ายและคุณลืมเกี่ยวกับอินทิกรัลขอบเขต

— Wolfgang Bangerth

u_{n}

$u_n$

ใช่ฉันควรระวังให้มากขึ้น โปรดตรวจสอบการแก้ไขของฉันโดยเฉพาะคำถามของฉันเกี่ยวกับวิธีที่เราปฏิบัติต่อ V เนื่องจากควรได้รับการแก้ไขโดย PDE ก่อนหน้านี้แล้ว สิ่งนี้มีผลกระทบต่อรูปแบบการแปรปรวนหรือไม่? ขอบคุณ.

— Weaam

Scharfetter-Gummel (SG) เป็นสูตรที่ใช้กันทั่วไปในการแก้สมการความหนาแน่นกระแส นี่คือสูตรพิเศษที่เอาชนะความยากลำบากในการแก้ปัญหาการพึ่งพาแบบไม่เชิงเส้นระหว่างความหนาแน่นที่อาจเกิดขึ้นและความหนาแน่นกระแส

ข้อความมาตรฐานที่กล่าวถึงวิธีสมการเหล่านี้โดยใช้วิธีการรวมกล่องในหนังสือเล่มนี้: Selberherr, S. , การวิเคราะห์และการจำลองของอุปกรณ์สารกึ่งตัวนำ Springer-Verlag 1984

การจำลองประเภทนี้เรียกว่า Technology Computer Aided Design (TCAD) เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีไฟไนต์อีลิเมนต์ (FEM) วิธีไฟไนต์วอลลุ่ม (FVM) จะใช้ในการคำนวณกระแส นี่เป็นเพราะมันเหมาะกับสูตร SG ที่แสดง (โดยผู้ปฏิบัติงานของวิธีนี้) เพื่อทำงานเมื่อแก้สมการความหนาแน่นกระแส

หากคุณต้องการแก้ปัญหานี้โดยใช้ PDE แบบทั่วไป COMSOL มีเซมิคอนดักเตอร์โมดูลซึ่งแก้ปัญหานี้ได้โดยใช้วิธีไฮบริด FEM / FVM

นอกจากนี้ตัวจำลอง TCAD เชิงพาณิชย์และโอเพนซอร์สมีอยู่ที่นี่: http://www.tcadcentral.com

ตามความรู้ทั่วไปตัวแก้ TCAD ของ PDAD ทั่วไปคือ DEVSIM, FLOOPS, PROPHET เครื่องมือเชิงพาณิชย์มีแนวโน้มที่จะมีสมการทางกายภาพส่วนใหญ่เป็นรหัสยากในภาษาที่รวบรวมเช่น C ++

— ฮวน
แหล่งที่มา

ฉันขอโทษสำหรับคำตอบที่ช้ามาก ฉันรู้ว่าแอพพลิเคชั่นโดยตรงของ DD (แม้จะมี SG) ค่อนข้างไม่เสถียร (อย่างน้อยการติดตั้งของฉันใน Fenics อย่างน้อย) ดังนั้นฉันจึงละทิ้งมัน ในหลักสูตร VLSI ในภายหลังฉันใช้เครื่องมือ Comsol และ TCAD แน่นอน ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ครอบคลุม

— Weaam