การอัพเดทในแนวทแยงของเมทริกซ์แน่นอนบวกที่เป็นสมมาตร

เป็นสมมาตรบวกแน่นอน (SPD) เมทริกซ์เบาบาง เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเบาบาง มีขนาดใหญ่ ( > 10,000) และจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ในโดยปกติคือ 100 ~ 1,000 $A$ $n \times n$ $G$ $n$ $n$ $G$

ได้รับการแยกตัวประกอบในรูปแบบ cholesky เป็น $A$ $LDL^T$ T

วิธีการปรับปรุงและได้อย่างมีประสิทธิภาพเมื่อกลายเป็น ? $L$ $D$ $A$ $A+G$

linear-algebra

G มีองค์ประกอบเชิงบวกเท่านั้นหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นนี่คือขอบเขตบนเล็กน้อย: ดูการอัปเดตแนวทแยงเป็นผลรวมของการอัปเดตอันดับหนึ่ง มีวิธี O (n ^ 2) อยู่ในการคำนวณการแยกตัวประกอบของ LDL ^ t ของการอัปเดตอันดับหนึ่ง (การค้นหาโดย Google มีตัวอย่าง) จากนั้นการอัพเดทแบบทแยงมุมของคุณจะทำงานใน O (rn ^ 2) โดยที่ r คือจำนวนองค์ประกอบทแยงมุมที่ไม่ใช่ศูนย์ของ G เนื่องจากลักษณะเฉพาะของการอัปเดตเหล่านี้มีทางลัดในการบันทึกการคำนวณบางอย่าง แต่ไม่ชัดเจนว่าเป็นไปได้หรือไม่ ลดลำดับด้านล่าง O (rn ^ 2)

ฉันเห็นด้วย - ฉันไม่เชื่อว่าจะมีวิธีใดที่จะทำการอัปเดตตัวประกอบแบบทแยงมุมสำหรับตัวประกอบแบบ Cholesky ได้เร็วกว่าการทำแบบตัวประกอบซ้ำ แต่การอัปเดตอันดับหนึ่งสามารถทำได้ในเวลา

และคุณต้องทำอย่างใดอย่างหนึ่ง ไม่ใช่ศูนย์บนเส้นทแยงมุมของG

O (m^{2})

$O(m^2)$

G

$G$

— Brian Borchers

สำหรับ

และ

ในร้อยมันจะยากที่จะชนะ refactoring หากขนาดของ

ใหญ่ขึ้นและ

มีขนาดเล็กมากก็จะสามารถชดเชยได้ ไม่ว่าในกรณีใดการอัพเดตและการประมาณที่เป็นไปได้นั้นจะครอบคลุมในเชิงลึกโดยระบบสมมาตรเชิงเส้นในแนวทแยงและแบบคงที่สามารถแก้ไขได้ในเวลากำลังสองหลังจากการคำนวณล่วงหน้าหรือไม่ .

n \sim 10^{4}

$n \sim 10^4$

n n z (G)

$\mathrm{nnz}(G)$

A

$A$

A

$A$

G

$G$

— Jed Brown

เจ๊ดฉันคิดว่าคุณควรส่งเสริมความคิดเห็นของคุณเพื่อคำตอบที่นี่

— Michael Grant

แพ็คเกจ CHOLMOD SuiteSparse รุ่นล่าสุด (เบต้า 4.4.5) รองรับการแก้ไขแถว / คอลัมน์แบบสมมาตร (อัปเดตอันดับ 2) สำหรับ $LDL^T$ แยกย่อยโดยใช้ matlab (และ C) API ฉันใช้มันประสบความสำเร็จในหนึ่งในโครงการของฉัน

คุณสามารถใช้มันเพื่อทำการปรับปรุง $nnz(G)$ สำหรับการแยกตัวประกอบ มันขึ้นอยู่กับสิ่งนี้กระดาษ

ดังนั้นความซับซ้อนจะเป็น $O(nnz(G)*nnz(L))$ )โดยที่ $nnz(L)$ สามารถลดลงอย่างมีนัยสำคัญเมื่อใช้การเปลี่ยนรูปแบบลดการเติมสำหรับหร็อมแหร็ม $A$

สามารถดาวน์โหลดแพ็คเกจได้จากที่นี่

ด้านล่างนี้เป็นหมายเหตุบางส่วนที่เจ้าของแพ็คเกจมอบให้ (ศาสตราจารย์ Tim Davis):

API:

LD = ldlrowmod (LD, k) ลบแถว / คอลัมน์ k โดยการตั้งค่า A (:, k) และ A (k, :) ไปยังแถวที่ kth / col ของข้อมูลประจำตัว

LD = ldlrowmod (LD, k, C) แทนที่ kth row / col ของ A (ซึ่งจะต้องเป็น kth row / col of identity) ด้วยคอลัมน์ sparse C

ซับซ้อน:

การเพิ่มแถว / ลบต้องใช้เวลาอย่างมากที่สุด $O(nnz(L))$ เวลาดังนั้นหาก $nnz(L)$ คือ $O(n)$ แล้วเวลาที่มากที่สุด $O(n)$ )

เติมลดการเปลี่ยนแปลง:

มันเป็นความคิดที่ดีที่จะทำให้เมทริกซ์ของผู้ใช้แยกตัวประกอบเช่นเดียวกับใน $LDL^T$ = A แต่เราเปลี่ยนมาเป็น $LDL^T$ = $PAP^T$ เพื่อให้ $L$ มีค่าน้อยกว่าศูนย์

— Yuval Atzmon
แหล่งที่มา