Crank-Nicolson เป็นโครงร่างการแยกย่อยที่เสถียรสำหรับสมการปฏิกิริยา - การแพร่ - การพา (การพาความร้อน) หรือไม่?

ฉันไม่คุ้นเคยกับรูปแบบการแยกย่อยทั่วไปสำหรับ PDE ฉันรู้ว่า Crank-Nicolson เป็นรูปแบบที่ได้รับความนิยมในการลดทอนสมการการกระจาย ยังเป็นตัวเลือกที่ดีสำหรับคำศัพท์การพา?

ฉันสนใจการแก้สมการปฏิกิริยา - การแพร่ -การพา

$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \boldsymbol{v} u - D\nabla u \right) = f$

โดยที่คือสัมประสิทธิ์การแพร่ของสสารและคือความเร็ว$D$$u$$\boldsymbol{v}$

สำหรับการสมัครเฉพาะของฉันสมการสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

$\frac{\partial u}{\partial t} = \underbrace{D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}_{\textrm{Diffusion}} + \underbrace{\boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}}_{\textrm{Advection (convection)}} + \underbrace{f(x,t)}_{\textrm{Reaction}}$

นี่คือโครงร่างข้อเหวี่ยง - นิโคลสันที่ฉันสมัคร

$\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n+1} - 2u_{j}^{n+1} + u_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n} - u_{j-1}^{n} \right) + \frac{\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1} \right) \right] + f(x,t)$

สังเกตและเงื่อนไข สิ่งนี้ช่วยให้รูปแบบการย้ายระหว่าง:$\alpha$$\beta$

• $\beta=\alpha=1/2$ Crank-Niscolson
• $\beta=\alpha=1$มันมีนัยโดยนัย
• $\beta=\alpha=0$มันชัดเจนอย่างสมบูรณ์

ค่าอาจแตกต่างกันซึ่งทำให้คำว่า diffusion เป็น Crank-Nicolson และคำ advection เป็นอย่างอื่น อะไรคือแนวทางที่มีเสถียรภาพมากที่สุดคุณจะแนะนำอะไร

นี่เป็นคำถามที่มีกรอบและสิ่งที่มีประโยชน์มากที่จะเข้าใจ Korrok นั้นถูกต้องเพื่ออ้างถึงคุณในการวิเคราะห์ von Neumann และหนังสือของ LeVeque ฉันสามารถเพิ่มอีกเล็กน้อย ฉันต้องการเขียนคำตอบโดยละเอียด แต่ในขณะนี้ฉันมีเวลาแค่คำตอบสั้น ๆ เท่านั้น:

ด้วยคุณจะได้รับวิธีการที่มีเสถียรภาพอย่างแน่นอนสำหรับขนาดขั้นตอนที่มีขนาดใหญ่โดยพลการรวมถึงลำดับที่สองที่แม่นยำ อย่างไรก็ตามวิธีการนี้ไม่ได้เป็นแบบL-เสถียรดังนั้นความถี่ที่สูงมาก ๆ จะไม่ถูกทำให้ชื้น$\alpha=\beta=1/2$

ด้วยคุณจะได้รับวิธีการที่มีความเสถียรแบบไม่มีเงื่อนไข แต่มีเพียงลำดับที่ถูกต้องเท่านั้น วิธีนี้จะลดลงมาก มันเป็นL-เสถียร$\alpha=\beta=1$

หากคุณใช้วิธีการของคุณสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการใช้วิธีRunge-Kutta แบบเติมแต่งกับการแยกความแตกต่างกึ่งกลางที่กึ่งกลาง การวิเคราะห์ความเสถียรและความแม่นยำสำหรับวิธีการดังกล่าวมีความซับซ้อนมากขึ้น กระดาษที่ดีมากเกี่ยวกับวิธีการดังกล่าวเป็นที่นี่$\alpha\ne\beta$

วิธีการที่แนะนำจะขึ้นอยู่กับขนาดของข้อมูลประเภทเริ่มต้นที่คุณจัดการและความแม่นยำที่คุณต้องการ หากยอมรับความแม่นยำต่ำมากเป็นแนวทางที่แข็งแกร่งมาก ถ้าอยู่ในระดับปานกลางหรือใหญ่แสดงว่าปัญหานั้นเกิดจากการแพร่กระจายและแข็งทื่อมาก โดยทั่วไปจะให้ผลลัพธ์ที่ดี หากมีขนาดเล็กมากก็อาจเป็นประโยชน์ในการใช้วิธีการที่ชัดเจนและการเรียงลำดับขั้นสูงขึ้นสำหรับเงื่อนไขการพาความร้อน$D$$\alpha=\beta=1$$D$$\alpha=\beta=1/2$$D$

โดยทั่วไปคุณจะต้องใช้วิธีการโดยปริยายสำหรับสมการพาราโบลา (ส่วนการแพร่) - แผนการที่ชัดเจนสำหรับพาราโบลา PDE จำเป็นต้องมีการประทับเวลาสั้น ๆ เพื่อให้มีเสถียรภาพ ในทางกลับกันสำหรับชิ้นส่วนไฮเปอร์โบลิค (advection) คุณจะต้องการวิธีที่ชัดเจนเนื่องจากมีราคาถูกกว่าและไม่รบกวนระบบสมมาตรของระบบเชิงเส้นที่คุณต้องแก้ไขโดยใช้วิธีการโดยปริยายสำหรับการแพร่ ในกรณีดังกล่าวคุณต้องการหลีกเลี่ยงความแตกต่างกึ่งกลางเช่นและเปลี่ยนเป็นความแตกต่างด้านเดียวสำหรับเหตุผลของความมั่นคง$(u_{j+1}-u_{j-1})/2\Delta t$$(u_j-u_{j-1})/\Delta t$

ฉันขอแนะนำให้คุณดูที่หนังสือของ Randy LevequeหรือหนังสือของDale Durranสำหรับ "von Neumann เสถียรภาพการวิเคราะห์" เป็นวิธีการทั่วไปในการตรวจสอบความมั่นคงของแผนการลดทอนของคุณหากคุณมีเงื่อนไขขอบเขตเป็นระยะ (นอกจากนี้ยังมีบทความวิกิพีเดียที่ดีที่นี่ )

แนวคิดพื้นฐานคือการสมมติว่าการประมาณแบบไม่ต่อเนื่องของคุณสามารถเขียนผลรวมของคลื่นระนาบ , โดยที่คือหมายเลขคลื่นและความถี่ คุณอัดคลื่นระนาบเข้าไปในการประมาณค่ากับ PDE และอธิษฐานว่ามันจะไม่ระเบิด เราสามารถเขียนคลื่นระนาบเป็นและเราต้องการที่จะทำให้แน่ใจว่า1$e^{i(k j\Delta x-\omega n\Delta t)}$$k$$\omega$$\xi^n e^{ikj\Delta x}$$|\xi|\le 1$

จากภาพประกอบให้พิจารณาสมการการกระจัดกระจายทั่วไปโดยใช้ความแตกต่างโดยนัย:

$\frac{u^{n+1}_j-u^n_j}{\Delta t} = D\frac{u^{n+1}_{j-1}-2u^{n+1}_j+u^{n+1}_{j+1}}{\Delta x^2}$

หากเราแทนที่คลื่นระนาบแล้วหารด้วยและเราจะได้สมการ$\xi^n$$e^{ikj\Delta x}$

$\frac{\xi-1}{\Delta t} = D\frac{e^{-ik\Delta x}-2+e^{ik\Delta x}}{\Delta x^2}\xi$

ทำความสะอาดนี่สักหน่อยแล้วเราจะได้:

$\xi = \frac{1}{1+\frac{2D\Delta t}{\Delta x^2}\left(1-\cos k\Delta x\right)}$ขวา)}

นี้น้อยกว่าหนึ่งเสมอดังนั้นคุณจะอยู่ในที่ชัดเจน ลองใช้สิ่งนี้กับรูปแบบที่ชัดเจนและเป็นศูนย์กลางสำหรับสมการการพา:

$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t} = v\frac{u_{j-1}^n-u_{j+1}^n}{2\Delta x}$

และดูสิ่งที่คุณจะได้รับ (มันจะมีส่วนจินตภาพในเวลานี้) คุณจะพบว่าซึ่งเป็นเวลาที่น่าเศร้า ดังนั้นการตักเตือนของฉันที่คุณไม่ได้ใช้มัน หากคุณสามารถทำเช่นนั้นคุณไม่ควรมีปัญหามากในการหารูปแบบที่มั่นคงสำหรับสมการการแพร่กระจายแบบเต็มรูปแบบ$\xi$$|\xi|^2 > 1$

ที่กล่าวว่าฉันจะใช้รูปแบบโดยนัยสำหรับส่วนการแพร่กระจาย เปลี่ยนส่วนต่างในถ้าและถ้าและเลือก timestep เพื่อให้ . (นี่คือเงื่อนไขCourant-Friedrichs-Lewy ) เป็นเพียงลำดับแรกที่ถูกต้องดังนั้นคุณอาจต้องการค้นหารูปแบบการแยกคำสั่งที่สูงขึ้นหากมันเกี่ยวข้องกับคุณ$u_j-u_{j-1}$$v > 0$$u_j-u_{j+1}$$v < 0$$V\Delta t/\Delta x \le 1$