ฉันจะเชื่อใจอินทิกรัลอินทิเกรตตัวเลขจาก Matlab ได้อย่างไร

คนวิทยาศาสตร์การคำนวณ:

ฉันโพสต์คำถามนี้ที่ Math Stack Exchangeและมีคนแสดงความคิดเห็นว่าฉันอาจได้รับคำตอบ "ดีกว่า" ที่นี่:

ฉันเป็นสามเณรด้วยวิธีการเชิงตัวเลขและ Matlab ฉันพยายามประเมินผลรวมของสามอินทิกรัลสองอันดังต่อไปนี้ (สามารถเขียนได้ง่ายกว่า แต่คุณยังไม่สามารถประเมินได้ว่าเป็นสัญลักษณ์ (?)) ฉันมีปัญหาในการทำให้ทำงานที่นี่ดังนั้นฉันลังเลที่จะแยกมันออกเป็นชิ้น ๆ ที่นี่: ฉันต้องการค้นหาผลรวมของ $\LaTeX$

\frac{2}{((1 / 0.3) - 1)^{2}} (\int_{1}^{1 / 0.3} \int_{1}^{r_{1}} \int_{0}^{r_{1} - r_{0}} F_{1} (r_{0}, r_{1}, t) \exp (- \frac{(0.3)^{2} t^{2}}{4}) d t d r_{0} d r_{1}),

$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_0^{r_1-r_0}F_1(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$

และ

\frac{2}{((1 / 0.3) - 1)^{2}} (\int_{1}^{1 / 0.3} \int_{1}^{r_{1}} \int_{r_{1} - r_{0}}^{r_{1} + r_{0}} F_{2} (r_{0}, r_{1}, t) \exp (- \frac{(0.3)^{2} t^{2}}{4}) d t d r_{0} d r_{1}),

$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_{r_1-r_0}^{r_1+r_0} F_2(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$

ที่ไหน

F_{1} (r_{0}, r_{1}, t) = \frac{t^{2} r_{0}^{3} * (0.3)^{3}}{2 r_{1}^{3} \sqrt{π}}

$F_1(r_0,r_1,t)=\frac{t^2 r_0^3*(0.3)^3}{2r_1^3\sqrt{\pi}}$

และ

F_{2} (r_{0}, r_{1}, t) = \frac{(0.3)^{3} π^{3 / 2} (r_{0} + r_{1} - t)^{4} (t^{2} + 2 t (r_{0} + r_{1}) - 3 (r_{1} - r_{0})^{2})^{2}}{288 (\frac{4}{3} π r_{0}^{3}) (\frac{4}{3} π r_{1}^{3})} .

$F_2(r_0,r_1,t)=\frac{(0.3)^3\pi^{3/2}(r_0+r_1-t)^4 (t^2+2t(r_0+r_1)-3(r_1-r_0)^2)^2}{288(\frac{4}{3}\pi r_0^3)(\frac{4}{3}\pi r_1^3)}.$

แก้ไข (2 มีนาคม 2013): มีคนตอบว่าได้รับ Mathematica เพื่อทำอินทิกรัลเป็นสัญลักษณ์ ฉันพยายามทำสิ่งนี้ (ด้วยอินทิกรัลเวอร์ชันที่ง่าย) และ Mathematica สามารถทำได้เพียงสองส่วนนอกของอันแรกและหยุดชะงักในอันที่สอง ฉันขอขอบคุณความช่วยเหลือ นี่คือสิ่งที่ฉันทำ:

ฉันพยายามประเมิน

\int_{1}^{2} \int_{1}^{r_{2}} \int_{0}^{r_{2} - r_{1}} \frac{r_{1}^{3} t^{2} \exp (- t^{2})}{r_{2}^{3}} d t d r_{1} d r_{2}

$\int_1^2 \int_1^{r_2} \int_0^{r_2-r_1} \frac{r_1^3 t^2 \exp(-t^2)}{r_2^3}\,dt\,dr_1\,dr_2$ ผ่านทาง

รวม [r1 ^ 3 / r2 ^ 3 * t ^ 2 * Exp (-t ^ 2), {t, 0, r2 - r1}, {r1, 1, r2}, {r2, 1, 2}]

และ Mathematica กลับมา (ฉันมีปัญหากับที่นี่เพราะผลยาวฉันแบ่งมันเป็นสองสมการถ้าใครรู้วิธีที่ดีในการแสดงโปรดบอกฉัน): $\LaTeX$

\int_{1}^{2} \frac{1}{64 R 2^{2}} {อี}^{- 1 - R 2^{2}} (2 {อี}^{2 R 2} (25 + R 2 (19 + 2 R 2 (1 + R 2))) -

$\int_1^2 \frac{1}{64r2^2} e^{-1-r2^2}(2e^{2r2}(25+r2(19+2r2(1+r2)))-$

{อี}^{1 + R 2^{2}} (32 R 2 (2 + R 2^{2})) + \sqrt{π} (11 + 4 R 2^{2} (9 + R 2^{2})) \erf [1 - R 2]) d R 2

$e^{1+r2^2}(32r2(2+r2^2)) +\sqrt{\pi}(11+4r2^2(9+r2^2))\operatorname{Erf}[1-r2])\,dr2.$

จากนั้นฉันก็พยายามประเมิน

\int_{1}^{2} \int_{1}^{R_{2}} \int_{R_{2} - R_{1}}^{R_{2} + R_{1}} ...

$\int_1^2\int_1^{r_2}\int_{r_2-r_1}^{r_2+r_1} \ldots \qquad \qquad \qquad$

... \frac{ประสบการณ์ (- {เสื้อ}^{2}) (R_{1} + R_{2} - เสื้อ)^{4} ({เสื้อ}^{2} + 2 เสื้อ (R_{1} + R_{2}) - 3 (R_{2} - R_{1})^{2})^{2}}{R_{1}^{3} R_{2}^{3}} d เสื้อ d R_{} d R_{2}

$\ldots\frac{\exp(-t^2)(r_1+r_2-t)^4(t^2+2t(r_1+r_2)-3(r_2-r_1)^2)^2}{r_1^3 r_2^3}\,dt\,dr_\,dr_2$

การใช้

รวม [(r1 + r2 - t) ^ 4 * (t ^ 2 + 2 * t * (r1 + r2) - 3 * (r2 - r1) ^ 2) ^ 2) Exp [-t ^ 2] / r1 ^ 3 / r2 ^ 3, {r2, 1, 2}, {r1, 1, r2}, {t, r2-r1, r2 + r1}]

ตอนนี้และ Mathematica ยังไม่ได้รับคำตอบหลังจากนั้นประมาณครึ่งชั่วโมง (แต่ตอนนี้ฉันมีปัญหาเครือข่ายคอมพิวเตอร์และพวกเขาอาจจะถูกตำหนิ)

[สิ้นสุดการแก้ไขเดือนมีนาคม 2]

ฉันใช้คำสั่ง "triplequad" ของ Matlab โดยไม่มีตัวเลือกพิเศษ ฉันจัดการขีด จำกัด ตัวแปรของการรวมด้วยฟังก์ชั่นหนักเพราะฉันไม่รู้วิธีอื่นที่จะทำ Matlab ให้ฉัน0.007164820144202 $0.007164820144202$

ฉันรู้ว่า Matlab เป็นซอฟต์แวร์ที่ดี แต่ฉันได้ยินมาว่าตัวเลขอินทิกรัลสามตัวนั้นยากที่จะทำอย่างถูกต้องและนักคณิตศาสตร์จะไม่เชื่อดังนั้นฉันต้องการวิธีที่จะยืนยันความถูกต้องของคำตอบนี้ อินทิกรัลให้คุณค่าที่คาดหวังของการทดลองบางอย่าง (ถ้าใครต้องการฉันสามารถแก้ไขคำถามนี้เพื่ออธิบายการทดลอง): ฉันใช้การทดลองใน Matlab โดยใช้ตัวเลขที่สร้างขึ้นแบบสุ่มล้านครั้งและเฉลี่ยผลลัพธ์ ฉันทำขั้นตอนนี้ซ้ำสี่ครั้ง นี่คือผลลัพธ์ (ฉันต้องขออภัยถ้าฉันใช้คำว่า "ทดลอง" ไม่ถูกต้อง):

การทดลองที่ 1: $0.007133292603256$

การทดลองที่ 2: $0.007120455071989$

การทดลองที่ 3: $0.007062595022049$

การทดลองที่ 4: $0.007154940168452$

การทดลองที่ 5: $0.007215000289130$

แม้ว่าการทดลองแต่ละครั้งจะใช้ตัวอย่างเป็นล้านตัวอย่างค่าการจำลองจะเห็นด้วยในหลักสำคัญแรกเท่านั้น พวกเขาไม่ใกล้กันมากพอที่ฉันจะตัดสินว่าอินทิกรัลเชิงตัวเลขสามตัวนั้นถูกต้องหรือไม่

มีใครบอกฉันได้ไหมว่าฉันสามารถเชื่อถือผลลัพธ์ของ "triplequad" ที่นี่ได้หรือไม่และภายใต้สถานการณ์ใดที่เราสามารถเชื่อถือได้โดยทั่วไป

ข้อเสนอแนะข้อหนึ่งที่ฉันได้ที่ Math Stack Exchange คือการลองใช้ซอฟต์แวร์อื่นเช่น Mathematica, Octave, Maple และ SciPy นี่เป็นคำแนะนำที่ดีหรือไม่? ผู้คนทำงานเชิงตัวเลขใน Mathematica และ Maple จริงหรือไม่ อ็อกเทฟเป็นโคลน Matlab ดังนั้นฉันจะถือว่ามันใช้อัลกอริทึมการรวมเดียวกันได้หรือไม่? ฉันไม่เคยได้ยินเรื่อง SciPy มาก่อนและจะขอบคุณความคิดเห็นใด ๆ

UPDATE: ใครบางคนจากคณิตศาสตร์ Stack แลกเปลี่ยนไม่ได้ในเมเปิลและได้0.007163085468นั่นคือข้อตกลงกับสามตัวเลขที่สำคัญ นั่นเป็นสัญญาณที่ดี $0.007163085468$

นอกจากนี้ฉันขอขอบคุณข้อเสนอแนะเกี่ยวกับวิธีป้อนนิพจน์หลายบรรทัดแบบยาวในใน Stack Exchange คุณสามารถใช้สภาพแวดล้อม "ชิด" ที่นี่ได้ไหม? ฉันลองแล้วก็ใช้งานไม่ได้ $\LaTeX$

matlab

— สเตฟานสมิ ธ
แหล่งที่มา

ผลลัพธ์การจำลองของคุณนั้นสอดคล้องกับค่าตัวเลขที่ส่งคืนโดย Matlab: ค่าเฉลี่ยของพวกเขาที่นั้นเป็นเพียงข้อผิดพลาดมาตรฐานน้อยกว่า Matlab ที่ส่งคืน FWIW, Mathematicaผลตอบแทน0.00716308537นอกจากนี้ยังสามารถประเมินอินทิกรัลเหล่านี้อย่างเป็นสัญลักษณ์ในแง่ของพหุนามและฟังก์ชันข้อผิดพลาด

0.00713726

$0.00713726$

- 1.11

$-1.11$

0.00716308537 \dots

$0.00716308537\ldots$

— whuber

@whuber ขอบคุณ ฉันสาบานได้ว่าฉันลองมันเป็นสัญลักษณ์ใน Maple และ Maple ไม่สามารถทำได้ ฉันจะลองอีกครั้งในเมเปิลและถ้ามันไม่ได้ผลฉันจะลองในเมธามิกก้า BTW ฉันทำอินทิกรัลที่คล้ายคลึงกันใน Maple และฉันได้รับคำตอบเชิงสัญลักษณ์อย่างมาก ดูเหมือนว่าจะเป็นผลรวมและความแตกต่างของจำนวนมากที่มียอดรวมค่อนข้างเล็ก ฉันสงสัยว่าข้อผิดพลาด roundoff น่าจะเป็นคำตอบสุดท้าย ในปัญหาเช่นนี้คุณควรใช้คำตอบเชิงสัญลักษณ์หรือทำอินทิกรัลเชิงตัวเลข?

— Stefan Smith

คำตอบที่เป็นสัญลักษณ์มีข้อดีของการรวมฟังก์ชั่นที่ (บ่อยครั้ง) สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพเพื่อความแม่นยำโดยพลการ โดยปกติแล้วการแก้ปัญหาเชิงสัญลักษณ์ก็ให้การคำนวณใหม่อย่างรวดเร็วเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ ด้วยเหตุผลเหล่านี้มันมักจะคุ้มค่าที่จะแสวงหาวิธีแก้ปัญหาเชิงสัญลักษณ์

— whuber

@ โฮเบอร์: ฉันพยายามทำอินทิกรัลที่เทียบเท่ากัน (เปลี่ยนค่าคงที่และลบค่าคงที่แบบหลายค่า) ใน Mathematica และ Mathematica ทำได้เพียงการรวมสององค์ประกอบภายนอกของอินทิกรัลแรกเข้า ฉันโพสต์รหัสและผลลัพธ์ด้านบน

— Stefan Smith

Re การแก้ไขวันที่ 2 มีนาคม: โดยการลดอินทิกรัลอินทิกรัลเป็นสัญลักษณ์อินทิกรัลเดียว (ในครึ่งแรกของอินทิกรัล) คุณทำสำเร็จได้มาก อินทิเกรตนั้นทำตัวได้ดีมากและสามารถรวมเข้ากับตัวเลขเพื่อความแม่นยำสูงมากภายในเสี้ยววินาที

— whuber

ก่อนอื่นมันไม่ใช่ซอฟต์แวร์ (หรืออย่างน้อยก็ไม่ควรจะเป็น) ที่กำหนดคุณภาพของการแก้ปัญหาคือคุณภาพและความเหมาะสมของอัลกอริทึมที่ใช้ คุณควรตรวจสอบว่าอัลกอริธึมที่ใช้โดย triplequad ใน Matlab (ฉันเดาว่ามันใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Gaussian แบบซ้อนกัน) และคุณควรตรวจสอบว่าความคลาดเคลื่อนที่ร้องขอคืออะไร (ต้องได้รับการยอมรับแบบสัมบูรณ์และการยอมรับแบบสัมพัทธ์) โดยปกติแล้วโอกาสที่จะถามคือความแม่นยำสัมพัทธ์เท่านั้น $10^{-8}$

คำตอบที่มาจาก Maple น่าจะทำโดย Computer Algebra และบางทีมันอาจหาวิธีแก้ปัญหาแบบปิดซึ่งประเมินโดยใช้จุดลอยตัวที่มีความแม่นยำสองเท่า นี่เป็นข้อได้เปรียบที่คุณไม่ได้ประมาณค่าอินทิกรัลโดยการรวมที่แน่นอน (และด้วยเหตุนี้จะแนะนำข้อผิดพลาดโดยประมาณ) แต่ระบบพีชคณิตของคอมพิวเตอร์จะค้นหานิพจน์สำหรับอินทิกรัลซึ่งสามารถประเมินได้ แน่นอนว่าต้องใช้ความระมัดระวังเมื่อประเมินการแสดงออกนี้ (สำหรับการปัดเศษ)

หากคุณต้องการทำเช่นนี้กับ SciPy คุณจะต้องหันไปใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Gaussian แบบซ้อนกันโดยใช้ Quadpack พื้นฐาน (Piessens et al.) ใน Octave คุณจะมีแนวทางเดียวกัน และฉันจะไม่ต้องแปลกใจเกินไปถ้า Matlab ยังใช้ Quadpack เป็นเครื่องมือสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (เพราะมันเป็นอ้างอิง)

— GertVdE
แหล่งที่มา

@GretVdE: ขอบคุณสำหรับข้อมูล ฉันพยายามประเมินอินทิกรัลเป็นสัญลักษณ์แรกแล้วและเมเปิลไม่สามารถทำได้ (ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้เลยที่จะใช้ฟังก์ชั่นมาตรฐาน) ดังนั้นฉันจึงขอให้เมเปิลทำตัวเลข ฉันไม่รู้ว่ามันใช้อัลกอริทึมอย่างไร

— Stefan Smith

@StefanSmith: คุณจะพบว่าโดยการตั้งค่า infolevel infolevel[`evalf/int`] := 4ในเมเปิลไปนี้: คุณแน่ใจหรือไม่ว่า Mape ไม่พบโซลูชันที่ปิด อินทิกรัลไม่ซับซ้อนเกินไป คุณสามารถทำให้แผ่นงานเมเปิลของคุณเป็นที่สาธารณะได้หรือไม่?

— GertVdE

@StefanSmith: ฉันจะโพสต์รหัส Maple ในคำถามข้างต้น

— GertVdE

ฉันไม่สามารถทำให้ Maple ทำงานบนระบบของฉันได้ในตอนนี้ แต่ฉันลองอินทิกรัลที่เทียบเท่าใน Mathematica และ Mathematica ทำเพียงอินทิกรัลสามชั้นในของอินทิกรัลสามชั้นแรก โปรดดูคำถามที่แก้ไข

— Stefan Smith