ปัญหาการมอบหมายตำแหน่งต่ำหนาแน่นสูง

มีวิธีราคาถูกพอสมควรในการแก้ปัญหาการมอบหมายขนาดใหญ่หนาแน่นและอันดับต่ำหรือไม่ $\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$ ที่ $\pi$ วิ่งไปทั้งหมด permutations.of $1:n$ ?

นี่เป็นเมทริกซ์ของการจัดอันดับต่ำRขนาดโดยทั่วไปจะเป็น (อาจจะมีขนาดใหญ่มาก) r $A$ $n\times n$ $r$ $n=10000~~$ $r=15$

optimization

— อาร์โนลด์ Neumaier
แหล่งที่มา

โดยหมายถึงผลิตภัณฑ์เพื่อให้คุณก้าวผ่านเมทริกซ์สำหรับต่างกันหรือ

π i

$\pi i$

π

$\pi$

— Bill Barth

π

$\pi$ วิ่งข้ามพีชคณิตทั้งหมด

— Arnold Neumaier

ไม่ควรเป็นใช่ไหม

A_{π (i), i}

$A_{\pi(i),i}$

— Jack Poulson

@JackPoulson:และมีสองข้อความที่แตกต่างกันสำหรับภาพของภายใต้การเปลี่ยนลําดับ\

\i (i)

$\i(i)$

π i

$\pi i$

i

$i$

π

$\pi$

— Arnold Neumaier

คำถามที่น่าสนใจ! คุณกำลังมองหาการใช้ประโยชน์จากโครงสร้างระดับต่ำเพียงเพื่อเหตุผลในการจัดเก็บ - นั่นคือเพื่อประหยัดจากการต้องสร้างเมทริกซ์ทั้งหมดเมื่อใช้อัลกอริทึมการมอบหมายแบบดั้งเดิมหรือไม่? หรือคุณกำลังมองหาวิธีที่จะใช้ประโยชน์จากอันดับต่ำเพื่อเร่งการค้นหา?

— Michael Grant

เนื่องจากพร้อมเรามี ที่เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกับ\ $A=R_1R_2^T$ $R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$

\sum_{i} A_{π i, i} = \sum_{i} (P_{π} A)_{i, i} = trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T})

$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$

P_{π}

$P_{\pi}$

π

$\pi$

สำหรับใด ๆการติดตามสามารถคำนวณได้เป็น (ปริมาณนี้เรียกอีกอย่างว่าผลิตภัณฑ์ Frobenius , ) $\pi$

trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T}) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{π} R_{1})_{i, k} (R_{2}^{T})_{k, i} = \sum_{i, k} ((P_{π} R_{1}) \circ R_{2})_{i, k} .

$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$

P_{π} R_{1} : R_{2}

$P_{\pi}R_1:R_2$

ความคิดนี้ไม่ได้ใช้ออกภาระต้องไปผ่านทุกพีชคณิตและแรงเดรัจฉานค้นหาสูงสุดของผลิตภัณฑ์ Frobenius ทั้งหมดและในความเป็นจริงมีความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์อย่างชัดเจนเช่นเดียวกับคอมพิวเตอร์ T อย่างไรก็ตามมันมีข้อกำหนดด้านหน่วยความจำที่ต่ำกว่ามากเนื่องจากคุณไม่จำเป็นต้องตั้งจริงๆ $A=R_1R_2^T$ $A$

— Nico Schlömer
แหล่งที่มา