การเบี่ยงเบนสัมบูรณ์น้อยที่สุดที่แก้ได้โดยใช้อัลกอริทึม Barrodale-Roberts: การเลิกก่อนกำหนด?

โปรดแก้ตัวคำถามแบบยาวมันแค่ต้องการคำอธิบายเพื่อแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้นจริง ผู้ที่คุ้นเคยกับอัลกอริธึมที่กล่าวถึงอาจข้ามไปที่ simplex tablau แรกได้โดยตรง

---

เพื่อแก้ปัญหาค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์อย่างน้อยที่สุด (akaเพิ่มประสิทธิภาพ) อัลกอริธึม Barrodale-Roberts เป็นวิธีการพิเศษแบบซิมเพลกซ์ที่ต้องการการจัดเก็บน้อยลงและความพยายามในการคำนวณเพื่อค้นหาขั้นต่ำที่เหมาะสม$L_1$

การใช้อัลกอริทึมของฉันสิ้นสุดลงด้วยตัวอย่างง่ายๆก่อนที่จะถึงค่าต่ำสุดที่เหมาะสม อย่างไรก็ตามอาจให้ฉันระบุปัญหาในลักษณะที่ละเอียดยิ่งขึ้นก่อน:

ข้อมูลที่ได้รับ ,เพิ่มประสิทธิภาพพยายามหาที่ลดขนาด ที่เป็นเมทริกซ์ที่ขึ้นอยู่ในลักษณะบางอย่างเกี่ยวกับxปัญหานี้สามารถระบุได้ว่าเป็นโปรแกรมเชิงเส้นดังนั้นในหมู่คนอื่น ๆ จะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีง่าย ๆ$(x_i,y_i)$$L_1$$c\in m$

$$\sum_{i=1}^n |y_i-f(x_i)| \quad\text{with}\quad f(x):=A_x\cdot \phi$$ $A_x$$n\times m$$x$

Barrodale และ Roberts แนะนำการดัดแปลง (ใช้กันอย่างแพร่หลาย) ของวิธี simplex ที่ลดความซับซ้อนของวิธี simplex โดยใช้โครงสร้างพิเศษของ -problems สิ่งที่สะดุดตาที่สุดนี่คือทางออกที่ดีที่สุดจะสอดแทรกอย่างน้อยของดาต้าพอยน์ที่กำหนด ผู้ที่มีการเข้าถึง JSTOR อาจพบบทความที่สอดคล้องกันที่นี่$L_1$$\mathop{rank}(A)$

Lei และแอนเดอร์สันในปี 2545 เสนอการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยที่ควรจะเพิ่มความเสถียรเชิงตัวเลขและดังนั้นจึงสามารถเอาชนะปัญหาที่ทราบได้ด้วยอัลกอริทึมแบบซิมเพล็กซ์

โดยทั่วไปอัลกอริทึมนี้จะถือว่าคุณเริ่มต้นด้วยชุดของจุดที่กำหนดที่ต้องถูกสอดแทรกใช้โพรซีเดอร์ที่กำหนดเพื่อสร้าง tableau แบบง่าย ๆ จากนั้นใช้กฎของ Barrodale และ Roberts เพื่อตัดสินใจว่าตัวแปรพื้นฐานใดที่จะเปลี่ยนแปลงและปรับเปลี่ยน ชุดของดาต้าพอยน์ที่ประมาณ

Barrodale และ Roberts เป็นตัวอย่างเล็ก ๆ ที่ฉันพยายามทำซ้ำ มันพยายามที่จะใกล้เคียงกับจุดโดยฟังก์ชั่นa_1เสร็จสิ้นอัลกอริทึมของพวกเขาด้วย tablex simplex ดังต่อไปนี้:$\{(1,1), (2,1), (3,2), (4,3), (5,2)\}$$a_1+a_2x$

$$\begin{array}{l|l|ll} \hline \text{Basis}&R& u_1 & u_3\\ \hline b_1 & 1/2 & 3/2 & -1/2 \\ v_2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ b_2 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ u_4 & 1/2 & 1/2 & -3/2 \\ v_5 & 1 & -1 & 2 \\ \hline \text{Marginal cost} &2 & -1 & 0\\ \hline \end{array}$$

สิ่งสำคัญที่สุดคือจุดแรกและที่สามจะถูกหยันและข้อผิดพลาดโดยรวมมีค่าเท่ากับ 2พวกเขาสรุปว่า$2$

เนื่องจากเวกเตอร์ nonbasic ทั้งหมดมีต้นทุนส่วนเพิ่ม nonpositive [... ]

การวนซ้ำเสร็จสิ้นและถึงระดับสูงสุด

ถ้าฉันใช้อัลกอริธึมของ Lei และ Anderson ฉันสามารถสร้างฉากง่าย ๆ สำหรับชุดการแก้ไข {1,3} ตามที่คาดไว้ อย่างไรก็ตามถ้าฉันเริ่มอัลกอริทึมด้วย set (ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่เหมาะสม) ฉันจะได้รับ simplex tableau ดังนี้$\{2, 5\}$

$$\begin{array}{l|l|ll} \hline \text{Basis}&R& u_2 & u_5\\ \hline u_1 & 1/3 & -4/3 & 1/3 \\ b_1 & 1/3 & 5/3 & -2/3 \\ u_3 & 2/3 & -2/3 & -1/3 \\ u_4 & 4/3 & -1/3 & -2/3 \\ b_2 & 1/3 & -1/3 & 1/3 \\ \hline \text{Marginal cost} &7/3 & -10/3 & -5/3\\ \hline \end{array}$$

ผลลัพธ์นี้ทำให้ฉันงง หากฉันเข้าใจใบเสนอราคาข้างต้นอย่างถูกต้องการไม่มีต้นทุนส่วนเพิ่มที่เป็นบวกแสดงว่ามีการใช้งานที่เหมาะสม แม้ว่าค่าฟังก์ชันประมาณ 2.33 นั้นไม่เหมาะสม การแลกเปลี่ยนกับจะให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับการแก้ปัญหาของ Barrodale และ Roberts ดังนั้นจึงเหมาะสมที่สุด$u_2$$u_1$

ข้อมูลเพิ่มเติม: ถ้าฉันเริ่มต้นด้วยฉากเริ่มต้นที่กำหนดโดย Barrodale และ Roberts ฉันก็สามารถจำลองฉากเหนือด้านบนด้วยขั้นตอนธรรมดาธรรมดาได้ดังนั้นฉันมั่นใจว่าค่าตัวเลขจริงนั้นถูกต้องและการตีความกฎการเลือกเดือย เป็นความผิดพลาด

ความคิดใด ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้?

ฉันตระหนักว่าคำถามนั้นค่อนข้างซับซ้อนและอาจต้องใช้ความรู้อย่างน้อยที่สุดอัลกอริทึม Barrodale และ Roberts จึงต้องตอบอย่างเพียงพอ อัลกอริทึมโดยรวมคือการทำซ้ำที่นี่อย่างละเอียด อย่างไรก็ตามหากคุณมีคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับขั้นตอนที่ฉันทำหรือข้อมูลที่หายไปอย่าลังเลที่จะถามและฉันยินดีที่จะเพิ่มคำถาม

แก้ไขมัน ที่จริงแล้วบาร์โรเดลและโรเบิร์ตส์แก้ไขมันและฉันก็ไม่ได้อ่านอย่างละเอียด

ในคำถามของฉันฉันปล่อยให้ผู้อ่านเข้าใจว่าตัวแปร Barrodale และ Roberts ติดป้ายไว้ $u_i$ ยืนหยัดต่อสิ่งตกค้างในเชิงบวก $i$- datapoint ที่เกี่ยวข้องกับการพอดีในปัจจุบัน ถ้าสิ่งตกค้างเป็นลบ$u_i=0$ และ $v_i$ใช้ค่าที่สอดคล้องกัน เนื่องจากมีเพียงหนึ่งในพวกเขาเท่านั้นที่อาจอยู่ในพื้นฐานและค่าสัมประสิทธิ์ใน simplex tableau เป็นเพียงค่าลบของกันและกันจึงไม่จำเป็นต้องระบุไว้อย่างชัดเจนใน simplex tableau Barrodale และ Roberts พูดถึงในบทความของพวกเขา:

[... ] และผลรวมของต้นทุนส่วนเพิ่ม (หรือลดลง) ของ $b_j$ และ $c_j$ เป็นศูนย์และจาก $u_i$ และ $v_i$ คือ -2

ดังนั้น, tableau เริมของฉันข้างต้นจะต้องมีความคิดที่จะมีลักษณะดังนี้:

$$\begin{array}{l|l|ll| ll} \hline \text{Basis}&R& u_2 & u_5 & v_2 & v_5\\ \hline u_1 & 1/3 & -4/3 & 1/3 & 4/3 & -1/3 \\ b_1 & 1/3 & 5/3 & -2/3 & -5/3 & 2/3 \\ u_3 & 2/3 & -2/3 & -1/3 & 2/3 & 1/3 \\ u_4 & 4/3 & -1/3 & -2/3 & 1/3 & 2/3 \\ b_2 & 1/3 & -1/3 & 1/3 & -1/3 & -1/3 \\ \hline \text{Marginal cost} &7/3 & -10/3 & -5/3 & 4/3 & -1/3\\ \hline \end{array}$$

ที่เราเห็นอย่างชัดเจนว่า $v_2$สามารถนำมาเป็นพื้นฐานในการเก็บผลลัพธ์ที่ดีกว่า การทำเช่นนี้อัลกอริทึมจะสิ้นสุดลงในขณะที่แก้ไขดาต้าพอยน์ตัวที่หนึ่งและที่ห้าโดยมีข้อผิดพลาดโดยรวมเท่ากับ 2 ซึ่งเป็นทางออกที่ดีที่สุด

ขอขอบคุณที่อ่านและให้ที่ฉันเขียนปัญหาของฉันซึ่งมักจะช่วยให้การแก้ปัญหาแคบลงอย่างมาก หวังว่าคำตอบนี้อาจมีประโยชน์สำหรับบางคนที่พยายามใช้ Barrodale & Roberts