การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเชิงตัวเลขกับอนุพันธ์

19

วิธีการเชิงตัวเลขส่วนใหญ่สำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมให้ถือว่า integrand เป็นฟังก์ชั่นกล่องดำ ถ้าเรามีข้อมูลเพิ่มเติม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราจะได้ประโยชน์อะไรจากการรู้อนุพันธ์สองสามข้อแรกของปริพันธ์ ข้อมูลอื่นใดที่อาจมีค่า

สำหรับอนุพันธ์โดยเฉพาะ: การประมาณข้อผิดพลาดสำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสขั้นพื้นฐาน อาจมีวิธีในการเลือกความละเอียดการสุ่มตัวอย่างล่วงหน้าแทนการใช้การปรับตัวแบบไดนามิกหรือไม่?

ฉันสนใจในทั้งสองกรณีและหลายมิติ univariate

quadrature error-estimation

— MRocklin
แหล่งที่มา

3

เพียงแค่การแก้ไขเล็กน้อย: กฎสี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมคางหมูและซิมป์สันเป็นกฎประเภทของนิวตัน - โคทส์ไม่ใช่แบบจตุรัสเกาส์เซียน

— เปโดร

20

ฉันคิดว่านี่ไม่ใช่สิ่งที่คุณมีอยู่ในใจ แต่เพื่อความสมบูรณ์ขอเริ่มด้วยพื้นฐานบางประการ สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสส่วนใหญ่เช่น Newton-Cotes และ Gauss ขึ้นอยู่กับแนวคิดที่ว่าเพื่อประเมินความสมบูรณ์ของฟังก์ชั่นโดยประมาณคุณสามารถประมาณฟังก์ชั่นได้เช่น e ซึ่งเป็นพหุนามที่คุณสามารถรวมได้อย่างแม่นยำ:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Newton-Cotes และ Gauss ขึ้นอยู่กับการประมาณค่าลากรองจ์ซึ่งหมายความว่าคุณสอดแทรกฟังก์ชันที่กำหนดโดยใช้ค่าบนชุดของโหนด (ซึ่งมีระยะห่างที่เท่ากันสำหรับ Newton-Cotes และเลือกอย่างเหมาะสมในแง่หนึ่งสำหรับ Gauss) ในกรณีนี้และอินทิกรัมากกว่าพหุนามฟังก์ชั่นพื้นฐานสำคัญจะตรงน้ำหนักพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

วิธีการเดียวกันนี้ทำงานร่วมกับHermite Interpolationเช่นการแก้ไขโดยใช้ค่าของฟังก์ชั่นและอนุพันธ์ของมันถึงลำดับที่แน่นอนบนชุดของโหนด ในกรณีของฟังก์ชันและค่าอนุพันธ์อันดับแรกเท่านั้นคุณมี (มีการใช้ Matlab

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$ ในเรื่องนี้หากคุณต้องการดูว่ามันทำงานอย่างไร)

นี้จะเกี่ยวข้องกับตัวแปรของ Gauss พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เรียกว่าเกาส์-Legendre พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่โหนดได้รับการแต่งตั้งอย่างแม่นยำเพื่อให้น้ำหนักหายไป (ซึ่งเป็นคำอธิบายความจริงที่อื่นที่ Gauss พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับโหนดเป็นที่แน่นอนของการสั่งซื้อ ) ฉันคิดว่าอย่างน้อยบางส่วนตอบคำถามของคุณในวรรคสอง ด้วยเหตุผลนี้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเกาส์มักใช้แทนการแก้ไขแบบ Hermite เนื่องจากคุณได้รับลำดับเดียวกันกับจำนวนจุดเท่ากัน แต่ไม่ต้องการข้อมูลอนุพันธ์ $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

สำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหลายมิติคุณต้องเผชิญกับปัญหาที่จำนวนของอนุพันธ์ (รวมถึงอนุพันธ์แบบผสม) ที่คุณต้องใช้ในการประเมินการเติบโตอย่างรวดเร็วเมื่อมีการเพิ่มคำสั่งซื้อ

กลับมาที่คำถามของคุณ: วิธีการที่ตรงไปตรงมาในการใช้ประโยชน์จากข้อมูลอนุพันธ์คือใช้แผนกย่อยของโดเมนการรวมกลุ่มของคุณและใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแยกต่างหากสำหรับทุกแผนก หากคุณรู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นของคุณมีขนาดใหญ่ในบางส่วนของโดเมนคุณจะต้องใช้โดเมนที่เล็กกว่า (ด้วยเหตุนี้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสสรุป) หรือคำสั่งการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สูงขึ้น สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับh-และp-adaptivityตามลำดับในวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์

— คริสเตียนโคลสัน
แหล่งที่มา

6

มีกฎการบูรณาการ "แก้ไข" จำนวนหนึ่งซึ่งก่อให้เกิดอนุพันธ์ของจุดสิ้นสุด ตัวอย่างง่ายๆอย่างหนึ่งคือกฎสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกต้อง สมมติว่าเราต้องการประมาณอินทิกรัล

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

ให้เป็นจำนวนเต็มและ $n$ $h=(b-a)/n$ nจากนั้นกฎรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

ให้การประมาณอย่างง่ายแก่อินทิกรัลโดยมีข้อผิดพลาดของคำสั่ง $h^2$ 2อย่างไรก็ตามกฎ trapezoidal "แก้ไข":

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

เพิ่มความแม่นยำอย่างมากมาย ตัวอย่างเช่นพิจารณา

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

และเลือก 8ค่าที่แน่นอนของถึงทศนิยม 14 ตำแหน่งคือ $n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

และค่าของและคือ $T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

ตามลำดับ ข้อผิดพลาดคือ

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

และ

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

แสดงความแม่นยำที่เพิ่มขึ้นอย่างน่าทึ่ง มีการแก้ไขเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ที่สูงกว่าหรือเริ่มจากกฎ Newton-Cotes อื่น ๆ หรือกฎประเภท Gaussian

— Alasdair
แหล่งที่มา

5

$\text{polynomial}\times\text{weight function}$ อย่างแน่นอน ตามที่คาดไว้เมื่อต้องการใช้กฎนี้เราคาดว่าจะมีใครสามารถประเมินฟังก์ชันของคุณและอนุพันธ์จำนวนหนึ่งได้ที่คะแนนจริงตามอำเภอใจ การค้นหาในสถานที่ปกติควรจะสามารถอ้างอิงเพิ่มขึ้นอีกสองสามรายการ

— JM
แหล่งที่มา

4

แม้ว่าเธรดนี้จะค่อนข้างเก่า แต่ฉันคิดว่ามันอาจมีประโยชน์ที่จะมีการอ้างอิงไปยังเอกสารที่ผ่านการตรวจสอบโดยเพื่อนสำหรับการวางหลักเกณฑ์ทั่วไปของกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั่วไป

Nenad Ujevic "หลักเกณฑ์ทั่วไปของกฎซิมป์สันและขอบเขตข้อผิดพลาดที่แก้ไข", ANZIAM Journal, Vol. 47, 2005

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

ฉันคิดว่ามันจะมีประโยชน์ในการให้การอ้างอิงที่ดีที่สามารถเข้าถึงได้อย่างอิสระและมีการอ้างอิงไปยังเอกสารอื่น

ดังที่ Alasdair ระบุไว้ข้างต้นรวมถึงอนุพันธ์ของจุดปลายสามารถเพิ่มความแม่นยำได้อย่างน่าทึ่ง ตัวอย่างเช่น Ujevic และ Roberts แสดงให้เห็นว่าการเพิ่มอนุพันธ์อันดับแรกในกฎของซิมป์สันจะช่วยลดข้อผิดพลาดให้กับลำดับที่ 6 ในระยะห่างของกริดในขณะที่มันเป็นอันดับที่ 4 ที่ไม่มีอนุพันธ์ กระดาษ Ujevic แสดงให้เห็นว่าแม้แต่ข้อผิดพลาดที่เข้มงวดยิ่งขึ้นสามารถพบได้

N. Ujevic และ AJ Roberts สูตรและพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แก้ไขแล้ว ANZIAM J. , 45 (E), (2004), E41-E56 http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason แนะนำให้ฉันย้ายความคิดเห็นที่ฉันทำลงไปในคำตอบเพราะเขาคิดว่าการอ้างอิงที่ฉันให้นั้นเป็นสิ่งที่ดีและพวกเขาอาจจะหายไปหากความคิดเห็นถูกขัดออกในบางช่วง)

— Lysistrata
แหล่งที่มา

คุณสามารถแสดงความคิดเห็นกับผลลัพธ์ที่นำเสนอในบทความได้หรือไม่?

— nicoguaro

ตอนนี้ฉันสามารถมีคะแนนตัวแทนเพียงพอแล้ว! ฉันคิดว่ามันจะมีประโยชน์ในการให้การอ้างอิงที่ดีที่สามารถเข้าถึงได้อย่างอิสระและมีการอ้างอิงไปยังเอกสารอื่น ดังที่ Alasdair ระบุไว้ข้างต้นรวมถึงอนุพันธ์ของจุดปลายสามารถเพิ่มความแม่นยำได้อย่างน่าทึ่ง ตัวอย่างเช่นในการอ้างอิง 6 ของกระดาษที่ฉันเชื่อมโยงกับ Roberts และ Ujevic แสดงให้เห็นว่าการเพิ่มอนุพันธ์อันดับแรกให้กับ Simpson's Rule จะช่วยลดข้อผิดพลาดให้กับลำดับที่ 6 ในระยะห่างของกริดในขณะที่มันเป็นอันดับที่ 4 กระดาษ Ujevic แสดงให้เห็นว่าแม้แต่ข้อผิดพลาดที่เข้มงวดยิ่งขึ้นสามารถพบได้

— Lysistrata

1

@Lysistrata นั่นเป็นข้อมูลอ้างอิงที่ดี คุณสามารถแก้ไขความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบได้หรือไม่? ความคิดเห็นสามารถหายไปและมันก็น่าเสียดายที่จะสูญเสียมันไป

— Christian Clason