จำเป็นต้องใช้ 8 Gauss สำหรับองค์ประกอบลำดับเลขฐานสิบหกอันดับที่สองหรือไม่?

เป็นไปได้ไหมที่จะได้ความแม่นยำอันดับสองสำหรับองค์ประกอบ hexahedral finite ที่มีคะแนน Gauss น้อยกว่า 8 คะแนนโดยไม่แนะนำโหมด unphysical? จุด Gauss กลางจุดเดียวเปิดตัวโหมดการตัดแบบไม่ต่อเนื่องและการจัดแบบสมมาตรมาตรฐานของ 8 Gauss points นั้นมีราคาแพงเมื่อเปรียบเทียบกับการแยกส่วนแบบ tetrahedral

แก้ไข : มีคนถามถึงสมการ สมการที่ฉันสนใจคือความยืดหยุ่นแบบไม่เชิงเส้นไม่ว่าจะเป็นแบบไดนามิกหรือแบบ quasistatic สมการ quasistatic คือ

\nabla \cdot P (\nabla ϕ) = 0

$\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0$

$\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$ $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ $P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

P (F) = μ (F - F^{- T}) + λ F^{- T} \log det F

$P(F) = \mu (F - F^{-T}) +\lambda F^{-T} \log \det F$

finite-element accuracy

— Geoffrey Irving
แหล่งที่มา

คุณกำลังจำลองอะไรอยู่

— Dan

ความยืดหยุ่นเชิงเส้นในขณะนี้ แต่คำถามเกี่ยวกับความยืดหยุ่นแบบไม่เชิงเส้นโดยทั่วไป

— เจฟฟรีย์เออร์วิงก์

คุณควรรวมสมการที่คุณสนใจเนื่องจากคำจำกัดความของ "ไม่เป็นทางการ" ขึ้นอยู่กับพวกเขา หรืออย่างน้อยก็กำหนดพื้นที่ของฟังก์ชั่นที่เป็น "กายภาพ" อย่างแม่นยำ

— David Ketcheson

เพิ่มสมการแล้ว

— Geoffrey Irving

ด้วย dPhi / dx คุณหมายถึงการไล่ระดับสีหรือไม่?

— Wolfgang Bangerth

เท่าที่มีการจำลองกลไกกลศาสตร์ของแข็ง จำกัด คุณไม่สามารถใช้จุดกำลังสองน้อยกว่า 8 โดยไม่ใช้แรงเสถียรภาพ ในกรณีของวัสดุที่ไม่มีการบีบอัด (กรณีของคุณ) ทางออกที่ดีที่สุดเพื่อความถูกต้องคือใช้สูตรผสม คุณสามารถอ้างถึงหนังสือโดย Simo และฮิวจ์: http://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC

— Nicolas Tardieu
แหล่งที่มา

เห็นได้ชัดว่าโดยทั่วไปคุณไม่สามารถออกไปได้โดยมีคะแนนพื้นที่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสต่อเซลล์น้อยกว่าที่มีองศาอิสระ ในกรณีขององค์ประกอบ trilinear บน hexahedron 3d มี 8 องศาอิสระ (หนึ่งต่อยอด) ดังนั้นจำนวนขั้นต่ำของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะแปดเช่นกัน

ซึ่งไม่สามารถย้อนกลับได้และไร้ประโยชน์อย่างสมบูรณ์ เหตุผลก็คือสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งจุดไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่างฟังก์ชั่นเชิงเส้นทั้งหมด (ส่วนหนึ่งของพื้นที่ทดลอง) ที่มีค่าเดียวกันที่จุดสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับกฎจุดกึ่งกลางฟังก์ชันรูปร่าง 'x' จะเหมือนกับฟังก์ชัน '0' เหมือนกับฟังก์ชัน '-x' กล่าวอีกนัยหนึ่งในขณะที่พื้นที่ทดลองมีมิติที่ 2 พร้อมอินทิกรัลสำหรับจุดกึ่งกลางกฎพื้นที่มีมิติ 1 แม้ว่าจะมีอิสระสององศานั่นคือคำจำกัดความของพื้นที่ที่ไม่ได้เป็นเอกสิทธิ์) สำหรับกฎจุดกึ่งกลางฟังก์ชันรูปร่าง 'x' จะเหมือนกับฟังก์ชัน '0' เหมือนกับฟังก์ชัน '-x' กล่าวอีกนัยหนึ่งในขณะที่พื้นที่ทดลองมีมิติที่ 2 พร้อมอินทิกรัลสำหรับจุดกึ่งกลางกฎพื้นที่มีมิติ 1 แม้ว่าจะมีอิสระสององศา - นั่นคือคำจำกัดความของพื้นที่ที่ไม่ได้เป็นเอกสิทธิ์) สำหรับกฎจุดกึ่งกลางฟังก์ชันรูปร่าง 'x' จะเหมือนกับฟังก์ชัน '0' เหมือนกับฟังก์ชัน '-x' กล่าวอีกนัยหนึ่งในขณะที่พื้นที่ทดลองมีมิติที่ 2 พร้อมอินทิกรัลสำหรับจุดกึ่งกลางกฎพื้นที่มีมิติ 1 แม้ว่าจะมีอิสระสององศา - นั่นคือคำจำกัดความของพื้นที่ที่ไม่ได้เป็นเอกสิทธิ์)

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคำถามของเจฟฟ์นั้นลึกซึ้งกว่านี้ สำหรับช่องว่างองค์ประกอบ จำกัด อย่างต่อเนื่องบน Tetrahedra ในโดเมนที่มีรูปทรงที่ดี (เช่นไม่มีองค์ประกอบแยก) คุณสามารถหลบหนีด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสจุดเดียวซึ่งชัดเจนภายใต้การรวมกลุ่ม คำถามคือว่ามันเป็นไปได้หรือไม่ที่จะรวมเข้าด้วยกันไม่ทางใดก็ทางหนึ่งด้วยองค์ประกอบ hexahedral ฉันไม่ทราบคำตอบ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าดีลนั้นใหญ่แค่ไหนเนื่องจากมีพื้นที่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่ต้องการการเคลื่อนไหวของหน่วยความจำเพิ่มเติม เมื่อคุณทำให้การประเมินผลส่วนที่เหลือเวกเตอร์ จำกัด เป็นเรื่องปกติที่หน่วยความจำจะถูกผูกไว้ดังนั้นคุณอาจจะดีขึ้นเมื่อใช้ flops

— Jed Brown

จุดดีเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวของหน่วยความจำ

— Geoffrey Irving

หากต้องการขยายจุดของเจด: เหตุผลที่อาร์กิวเมนต์ "ชัดเจน" ข้างต้นเป็นเท็จก็คือแต่ละจุดพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเห็นเมทริกซ์สำหรับ Tetrahedra ที่ครอบคลุมการเคลื่อนไหวทั้งหมดของจุดยอดซึ่งไม่รวมการแปลที่เหมือนกันซึ่งไม่ส่งผลต่อพลังงานหรือแรงดังนั้นจุดหนึ่งในการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็เพียงพอสำหรับความแม่นยำในการสั่งซื้อครั้งแรก

3 \times 3

$3 \times 3$

— เจฟฟรีย์เออร์วิงก์

ค่อนข้างไม่สะดวกที่ความคิดเห็นไม่สามารถเพิ่มบรรทัดใหม่ได้

— เจฟฟรีย์เออร์วิงก์

@JedBrown: จุดดี ความลาดชันของฟังก์ชั่นเชิงเส้นบน tets เป็นค่าคงที่และจุดควอดสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดียวก็เพียงพอแล้วตามอาร์กิวเมนต์ที่ฉันทำกับเมทริกซ์มวล (เมทริกซ์ความแข็งเป็นเมทริกซ์มวลสำหรับการไล่ระดับสี :-) ในทางตรงกันข้ามการไล่ระดับสีของฟังก์ชัน trilinear บน hexahedra คือฟังก์ชันกำลังสอง (anisotropic) ดังนั้นเราจึงต้องการมากกว่าหนึ่งจุดกำลังสองต่อการประสานงานทิศทาง

— Wolfgang Bangerth