การเลือกวิธีสำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นตัวเลข

มีวิธีการหลายตระกูลสำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นตัวเลข หากฉันมีคลาสรวมเฉพาะฉันจะเลือกวิธีในอุดมคติได้อย่างไร

คำถามที่เกี่ยวข้องที่จะถามทั้งสองเกี่ยวกับการรวม (เช่นมันราบรื่นหรือไม่มันมีเอกพจน์) และปัญหาการคำนวณ (เช่นการยอมรับข้อผิดพลาดงบประมาณการคำนวณ)?

คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ออกกฎหรือส่งเสริมครอบครัวของวิธีการต่าง ๆ ได้อย่างไร เพื่อความง่ายให้พิจารณาเพียงอินทิกรัลเดี่ยวหรือมิติต่ำ

ตัวอย่างเช่นบทความ Wikipedia เกี่ยวกับ QUADPACKระบุว่าQAGSรูทีนทั่วไปค่อนข้างเป็นธรรม" ใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ปรับได้ทั่วโลกโดยใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Gauss – Kronrod 21 จุดในแต่ละช่วงย่อยโดยเร่งด้วยอัลกอริทึม epsilon ของ Peter Wynn "

การตัดสินใจครั้งนี้เป็นอย่างไร เราจะตัดสินใจคล้ายกันได้อย่างไรเมื่อรู้มากกว่า

ก่อนอื่นคุณต้องถามคำถามกับตัวเองว่าคุณต้องการรูทีนการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรอบด้านที่ควรใช้อินทิกรัลและเป็นกล่องดำหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณไม่สามารถไปหาการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งคุณหวังว่าการปรับตัวจะจับจุดที่ "ยาก" ในอินทิกรัลและ และนั่นเป็นหนึ่งในเหตุผลที่ Piessens และคณะ เลือกสำหรับกฎ Gauss-Kronrod (กฎประเภทนี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณการประมาณของอินทิกรัลและการประมาณข้อผิดพลาดการประมาณโดยใช้การประเมินฟังก์ชั่นเดียวกัน) ของคำสั่งเจียมเนื้อเจียมตัวที่ใช้ในรูปแบบการปรับตัว ข้อผิดพลาดสูงสุด) จนกว่าจะถึงเกณฑ์ความคลาดเคลื่อนที่ต้องการ อัลกอริทึม Wynn-epsilon ช่วยให้สามารถเร่งความเร็วการลู่เข้าและโดยทั่วไปจะช่วยในกรณีที่มีภาวะเอกฐานปลาย

แต่ถ้าคุณรู้ "รูปแบบ" หรือ "ประเภท" ของอินทิกรัลของคุณคุณสามารถปรับแต่งวิธีการของคุณให้ตรงกับความต้องการของคุณดังนั้นค่าใช้จ่ายในการคำนวณจะถูก จำกัด ด้วยความแม่นยำที่คุณต้องการ ดังนั้นสิ่งที่คุณต้องดู:

integrand:

• ความราบรื่น: มันสามารถประมาณ (ดี) โดยพหุนามจากครอบครัวพหุนาม orthogonal (ถ้าเป็นเช่นนั้นการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Gaussian จะทำได้ดี)
• เอกพจน์: อินทิกรัลสามารถแยกเป็นอินทิกรัลโดยมีเพียงจุดสิ้นสุดเอกฐาน (ถ้าเป็นเช่นนั้น IMT- กฎหรือการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสทวีคูณจะดีในแต่ละช่วงย่อย)
• ต้นทุนการคำนวณสำหรับการประเมินผล?
• สามารถคำนวณการรวมเข้าด้วยกันได้หรือไม่? หรือมีเพียงข้อมูลจุดที่ จำกัด เท่านั้น?
• อินทิกรัลแบบสั่นสูง: มองหาวิธีการของเลวิน

เมื่อต้องรับมือกับภาวะเอกฐานสิ่งหนึ่งมักจะชอบที่จุดสิ้นสุดของอินทิกรัล (ดู IMT, เลขชี้กำลังสองเท่า) หากไม่เป็นเช่นนั้นคุณสามารถใช้การรวมกันของ Clenshaw-Curtis ที่คุณจับภาพภาวะเอกฐานในฟังก์ชันน้ำหนัก หนึ่งมักจะกำหนดรูปแบบของเอกเช่นและสร้างการแสดงออกสำหรับน้ำหนักของการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นหน้าที่ของการเป็นและ\ c $|x-c|^{-\alpha}$$c$$\alpha$

ช่วงเวลาการรวม: จำกัด กึ่งไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีที่สิ้นสุด ในกรณีที่มีช่วงกึ่งไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีที่สิ้นสุดพวกเขาสามารถลดลงเป็นช่วงเวลาที่แน่นอนโดยการแปลงตัวแปร? ถ้าไม่สามารถใช้ชื่อพหุนาม Laguerre หรือ Hermite ได้ในวิธีการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Gaussian

ฉันไม่มีการอ้างอิงสำหรับ flow ชีตจริงสำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยทั่วไป แต่หนังสือ QUADPACK (ไม่ใช่ Netlib manpages แต่หนังสือจริง) มี flow ชีทเพื่อเลือกรูทีนที่เหมาะสมตามอินทิกรัลที่คุณต้องการประเมิน หนังสือเล่มนี้ยังอธิบายถึงตัวเลือกในอัลกอริทึมที่ทำโดย Piessens และคณะ สำหรับกิจวัตรที่แตกต่างกัน

สำหรับอินทิกรัลต่ำมิติหนึ่งมักจะไปสำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งมิติซ้อนกัน ในกรณีพิเศษของการรวมสองมิติ (cubature) มีกฎการรวมสำหรับกรณีการรวมโดเมนที่ต่างกัน R. Cools ได้รวบรวมกฎจำนวนมากในสารานุกรมสูตรคิวบ์และเป็นผู้แต่งหลักของแพ็คเกจCubpack สำหรับอินทิกรัลมิติสูงมักใช้วิธีการพิมพ์แบบมอนติคาร์โล อย่างไรก็ตามหนึ่งความต้องการโดยทั่วไปแล้วการประเมินรวมและการประเมินจำนวนมากจะได้รับความถูกต้องเหมาะสม สำหรับอินทิกรัลต่ำมิติวิธีการประมาณเช่นการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส / Cubature / ซ้อนกันหลายชั้นมักจะออกวิธีการสุ่มเหล่านี้

ข้อมูลอ้างอิงที่น่าสนใจทั่วไป:

1. Quadpack, Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W. ; Kahaner, David (1983) QUADPACK: แพ็คเกจย่อยสำหรับการรวมอัตโนมัติ Springer-Verlag ไอ 978-3-540-12553-2
2. วิธีการรวมตัวเลข: รุ่นที่สอง, Ph. Davis และ Ph. Rabinowitz, 2007, Dover Books on Mathematics, ISBN 978-0486453392