อะไรคือสิ่งที่ล้ำสมัยที่สุดในการคำนวณแบบอินทิกรัลแบบผันผวนสูง?

23

อะไรคือสิ่งที่ล้ำสมัยในการประมาณอินทิกรัลของการแกว่งสูงทั้งในมิติเดียวและมิติที่สูงกว่าเพื่อความแม่นยำตามอำเภอใจ?

quadrature precision numerical-analysis

มันแย่มาก .. ไม่มีวิธีการทั่วไปจนถึงเพียงแค่พยายามหลายครั้ง แต่คาดหวังว่าพวกเขาจะล้มเหลวในตอนนี้และ ... บางบทความอ้างว่าพวกเขามีแจ็คพอต แต่เมื่อมันฟังดูดีเกินกว่าจะเป็นจริง ...

@Gigi: ยินดีต้อนรับสู่ SciComp! ความคิดเห็นของคุณค่อนข้างคลุมเครือ คุณจะอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับสาเหตุที่คุณคิดว่าสถานะของศิลปะในการประมาณอินทิกรัลของการแกว่งสูงนั้นไม่ดีหรือไม่?

— Geoff Oxberry

เป็นเรื่องจริงที่ว่าไม่มี "เวทย์มนตร์กระสุนปืน" ในการคำนวณอินทิกรัลที่แกว่งไกวสูง แต่เราทำในสิ่งที่เรามีและเรามักจะขอบคุณถ้าพวกเขาทำงาน

— JM

19

ฉันไม่คุ้นเคยกับสิ่งที่ทำในขณะนี้สำหรับคิวบ์ (การรวมหลายมิติ) ดังนั้นฉันจะ จำกัด ตัวเองกับสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

มีวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากมายสำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของอินทิกรัลสโคป มีวิธีการที่เหมาะสำหรับอินทิกรัลสโคป จำกัด และมีวิธีการอินทิกรัลแบบสโคปอินฟินิท

สำหรับอินทิกรัลเอสซิลลาสอินทิกรัลสองวิธีที่มีประสิทธิภาพมากกว่าที่ใช้คือวิธีของลองแมน (แต่ดูเอกสาร ทั้งสอง นี้โดย Arieh Iserles)

วิธีการของลองแมนอาศัยการแปลงอินทิกรัลแบบออสซิลเลชันซีรีส์เป็นชุดสลับโดยการแยกช่วงเวลาการรวมและสรุปชุดสลับด้วยวิธีการแปลงลำดับ ตัวอย่างเช่นเมื่อรวมอินทิกรัลการสั่นของฟอร์ม

\int_{0}^{\infty} ฉ (เสื้อ) บาป เสื้อ d เสื้อ

$\int_0^\infty f(t)\sin\,t\mathrm dt$

หนึ่งแปลงสิ่งนี้เป็นผลรวมสลับ

Σ_{k = 0}^{\infty} \int_{k π}^{(k + 1) π} ฉ (เสื้อ) บาป เสื้อ d เสื้อ

$\sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t)\sin\,t\mathrm dt$

ข้อตกลงของผลรวมการสลับนี้คำนวณด้วยวิธีการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเช่นแบบแผนของ Romberg หรือการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Gaussian Longman ของวิธีการเดิมที่ใช้การเปลี่ยนแปลงออยเลอร์แต่การใช้งานที่ทันสมัยเข้ามาแทนที่ออยเลอร์ด้วยวิธีการเร่งการบรรจบกันที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นเช่นการเปลี่ยนแปลงพระสาทิสลักษณ์หรือเปลี่ยนแปลงเลวิน

ในทางกลับกันการทวีคูณวิธีการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสในทางตรงกันข้ามทำให้การเปลี่ยนแปลงที่ชาญฉลาดของตัวแปรและจากนั้นใช้กฎรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเพื่อประเมินตัวเลขการเปลี่ยนแปลงครบถ้วน

สำหรับปริพันธ์ออสซิลโลส จำกัด , Piessens (หนึ่งในผู้สนับสนุนของ QUADPACK) และ Branders ในเอกสาร สอง ฉบับโดยมีรายละเอียดการดัดแปลงของการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของ Clenshaw-Curtis (นั่นคือการสร้างการขยายพหุนาม ในทางกลับกันวิธีของ Levinนั้นใช้วิธีการจัดระเบียบสำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (ฉันได้รับการบอกว่าตอนนี้มีรุ่นที่ใช้ประโยชน์ได้มากกว่าเดิมคือวิธีการของ Filon แต่ฉันไม่เคยมีประสบการณ์มาก่อน)

นี่เป็นวิธีที่ฉันจำได้ทันที ฉันแน่ใจว่าฉันลืมวิธีการอื่นที่ดีสำหรับอินทิกรัลสโคป ฉันจะแก้ไขคำตอบนี้ในภายหลังหากฉันจำได้

— JM
แหล่งที่มา

11

นอกจาก "หลายมิติเทียบกับมิติเดียว" และ "ขอบเขต จำกัด เทียบกับช่วงอนันต์" การจัดหมวดหมู่ที่สำคัญสำหรับวิธีการคือ "ออสซิลเลเตอร์ประเภทหนึ่งที่เฉพาะเจาะจง (ปกติคือฟูริเยร์ - ประเภท: , ฯลฯ หรือ Bessel-type: , ฯลฯ ) เทียบกับออสซิลเลเตอร์ทั่วไป ( $\sin(t)$ $\exp(it)$ $J_0(t)$ $\exp(i g(t))$ $w(t)$

ในตอนแรกวิธีการรวมตัวแบบออสซิลลัสซีนั้นมุ่งเน้นไปที่ออสซิลเลเตอร์เฉพาะ ดังที่เจเอ็มกล่าวว่าวิธีที่โดดเด่นรวมถึงวิธีของ Filon และวิธี Clenshaw-Curtis (ทั้งสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด) สำหรับปริพันธ์ช่วง จำกัด และวิธีการประเมินผลแบบอนุกรมและวิธีการอธิบายคู่ของ Ooura และโมริ

เมื่อเร็ว ๆ นี้พบวิธีการทั่วไปบางอย่าง สองตัวอย่าง:

$\exp(i g(t))$ $w(t)$
วิธีการของ Huybrechs และ Vandewalle ขึ้นอยู่กับความต่อเนื่องของการวิเคราะห์ตามเส้นทางที่ซับซ้อนซึ่งการรวมกันนั้นไม่มีความผันผวน ( Huybrechs และ Vandewalle 2006 )

ไม่จำเป็นต้องมีความแตกต่างระหว่างวิธีการสำหรับการหาปริพันธ์และอนันต์อินทิกรัลสำหรับวิธีการทั่วไปที่มากกว่าเนื่องจากการแปลงแบบกระชับสามารถนำไปใช้กับอินทิกรัลช่วงอนันต์ที่นำไปสู่อินทิกรัลช่วง ออสซิลเลเตอร์ที่แตกต่างกัน

วิธีการของเลวินนั้นสามารถขยายไปยังหลายมิติได้โดยทำซ้ำในมิติและวิธีอื่น ๆ แต่เท่าที่ฉันรู้วิธีการทั้งหมดที่อธิบายไว้ในวรรณกรรมจนถึงตอนนี้มีจุดตัวอย่างที่เป็นผลิตภัณฑ์ชั้นนอกของจุดตัวอย่างหนึ่งมิติหรืออย่างอื่น ที่เติบโตแบบทวีคูณกับมิติดังนั้นมันจึงหลุดพ้นจากมืออย่างรวดเร็ว ฉันไม่ได้ตระหนักถึงวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับมิติสูง หากพบว่ามีตัวอย่างบนกริดกระจัดกระจายในขนาดสูงจะมีประโยชน์ในแอปพลิเคชัน

การสร้างรูทีนอัตโนมัติสำหรับวิธีการทั่วไปมากขึ้นอาจเป็นเรื่องยากในภาษาการเขียนโปรแกรมส่วนใหญ่ (C, Python, Fortran ฯลฯ ) ซึ่งโดยปกติแล้วคุณคาดว่าจะตั้งโปรแกรม integrand ของคุณเป็น function / รูทีนและส่งต่อไปยังรูทีน integrator วิธีการทั่วไปจำเป็นต้องรู้โครงสร้างของ integrand (ซึ่งส่วนใดที่ดูมีความผันผวนประเภทของออสซิลเลเตอร์และอื่น ๆ ) และไม่สามารถถือว่าเป็น "กล่องดำ" ได้

— Andrew Moylan
แหล่งที่มา

กระดาษ Huybrechs / Vandewalle เป็นสิ่งที่ฉันไม่ได้เห็นดังนั้น +1 สำหรับสิ่งนั้น ดูเหมือนว่าจะคล้ายกับงานวิจัยที่ทำโดย Temme และคนอื่น ๆ เพื่อประเมินฟังก์ชั่นพิเศษยกเว้นว่าการขยายแบบไม่แสดงอาการนั้นไม่เกี่ยวข้องกับ Huybrechs / Vandewalle นอกจากนี้ฉันคิดว่ามีวิธีการที่คล้ายกันเกิดขึ้นสำหรับปัญหาแรกของความท้าทายหลักร้อยของ Trefethen โดยนักแก้ปัญหาเพียงไม่กี่คน

— JM

2

คุณสามารถตรวจสอบงานของ Marnix Van Daele และผู้ร่วมเขียนได้ ดูตัวอย่างนี้และนี้

— GertVdE
แหล่งที่มา