รูปแบบตัวเลขที่เป็นไปได้สำหรับสมการการแพร่กับคำที่ไม่เป็นเชิงเส้นคืออะไร?

สำหรับบางโดเมนนูนง่ายใน 2D, เรามีบางความพึงพอใจของสมการต่อไปนี้: บาง Dirichlet และ / หรือนอยมันน์ขอบเขตเงื่อนไข เพื่อความรู้ของฉันการใช้วิธีการของนิวตันในพื้นที่องค์ประกอบ จำกัด จะเป็นวิธีที่ตรงไปตรงมาในการแก้สมการเชิงตัวเลข $\Omega$ $u(x)$

- d ผม โวลต์ (A \nabla ยู) + ค {ยู}^{n} = ฉ

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

คำถามของฉันคือ: (1) มีทฤษฎี Sobolev สำหรับความเป็นอยู่ที่ดีของการกำหนดความแปรปรวนที่สอดคล้องกันของสมการนี้โดยสมมติว่าเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet เป็นศูนย์หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้น Banach ควรพิจารณาพื้นที่อะไร (2) วิธีการเชิงตัวเลขที่เป็นไปได้สำหรับสมการชนิดนี้คืออะไร?

pde finite-element

— Shuhao Cao
แหล่งที่มา

โดย "วิธีตัวเลขที่เป็นไปได้" คุณถามเกี่ยวกับ discretization หรือ solver algebraic หรือไม่?

— Jed Brown

ฉันเห็นสองแนวทาง:

1) f (u) โดยพลการ เพียงแค่ใส่ f ~ f (u0) ทางด้านขวาของสมการดำเนินการแก้ปัญหาที่ไม่ใช่เชิงเส้นใด ๆ รูปแบบจุดคงที่เป็นตัวเลือกที่ดีเพราะคุณไม่มียาโคบเบียนอยู่ดี ง่ายที่สุดในการนำไปใช้และใช้งานทั่วไปส่วนใหญ่ แต่อาจด้อยกว่าเพราะยาโคเบียนไม่สามารถใช้ประโยชน์ได้

2) f (u) ย่อยสลายเป็นอนุกรม (พหุนาม, ฟูริเยร์) การใช้และใช้งานยากขึ้นอาจเป็นเรื่องยาก / เป็นไปไม่ได้สำหรับบางคน แต่ในทางกลับกันคุณสามารถคำนวณและใช้ประโยชน์จากยาโคเบียนในวิธีที่เหมือนนิวตันซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะส่งผลให้มีประสิทธิภาพที่เหนือกว่า

— Dominik Lark
แหล่งที่มา

ฉันสมมติว่า

f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

คุณควรเพิ่ม u ^ n เป็น f จากนั้นคุณมีรูปแบบพหุนามแบบง่าย ๆ ของคำที่ใช้ในการตอบสนองที่ดีที่สุดกับวิธีที่ 2)

— Dominik Lark