มีวิธีการแยกตัวดำเนินการสำหรับ PDE หลายตัวที่ทำให้เกิดการรวมลำดับสูงหรือไม่?

16

ได้รับวิวัฒนาการของ PDE

u_{t} = A u + B u

$u_t = Au + Bu$

เมื่อเป็นตัวดำเนินการส่วนต่าง (อาจเป็นแบบไม่เชิงเส้น) ที่ไม่ต้องเดินทางวิธีการเชิงตัวเลขทั่วไปคือการสลับระหว่างการแก้ $A,B$

u_{t} = A u

$u_t = Au$

และ

u_{t} = B u .

$u_t = Bu.$

การดำเนินการที่ง่ายที่สุดของเรื่องนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อ Godunov และมีความแม่นยำอันดับหนึ่ง วิธีที่รู้จักกันดีอีกวิธีหนึ่งคือ Strang splitting นั้นมีความแม่นยำอันดับสอง มีวิธีแยกตัวดำเนินการลำดับที่สูงขึ้น (หรือวิธีการแยกย่อยหลายวิธีแบบอื่น) อยู่หรือไม่?

pde multiphysics operator-splitting

— เดวิดเคตเชสัน
แหล่งที่มา

1

เงื่อนไขแข็งหรือไม่แข็งหรือไม่ คุณมีฟังก์ชั่นที่ใช้ A และ B หรือคุณไม่เพียง แต่มีขั้นตอนวิธีการที่ก้าวหน้ารัฐจาก

ไป

? ในกรณีที่หนึ่งแข็งและหนึ่งไม่แข็งมีวิธีการที่น่าสนใจมากมาย

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— Jed Brown

7

มันเป็นความเข้าใจของฉันว่าสูตรBCHเป็นวิธีที่เป็นระบบเพื่อประมาณค่าเอ็กซ์โพเนนเชียลของเมทริกซ์สองค่าที่ไม่ใช่การสลับสับเปลี่ยน

— Matt Knepley
แหล่งที่มา

แต่นั่นไม่ได้นำไปสู่คำศัพท์ที่ซับซ้อนแม้ว่า PDE จะเป็นของจริงหรือ คนใช้เพื่อลดความซ้ำซ้อนอันดับที่สองหรือไม่?

— David Ketcheson

1

ไม่ใช่จากความทรงจำของฉัน (หรือหน้าเว็บ) มันนำไปสู่การสับเปลี่ยนจำนวนมาก ในร่างกายจำนวนมากควอนตัมมีวิธีที่ดีในการทำให้การแสดงออกเหล่านี้ง่ายขึ้น

— Matt Knepley

7

หากคุณพิจารณาตัวดำเนินการทั่วไป A และ B และถ้าคุณต้องการทำขั้นตอนเวลาที่เป็นบวกเท่านั้น (ซึ่งเป็นสิ่งที่คุณมักต้องใช้เมื่อแก้ปัญหาแบบพาราโบลา) มีอุปสรรคคำสั่งของ 2 คือการใช้ตัวแยกใด ๆคุณไม่สามารถรับได้ อัตราการบรรจบกันสูงกว่าสอง หลักฐานเบื้องต้นจะได้รับในกระดาษที่ผ่านมาโดยเอสเอฟและบลาเนสเสซhttp://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf

อย่างไรก็ตามมีหลายวิธีถ้าคุณรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหาของคุณเล็กน้อย:

สมมติว่าคุณสามารถแก้สมการย้อนหลังได้ในเวลา (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับเช่นสมการชโรดิงเงอร์) จากนั้นมีข้อต่อหลายเส้นให้ดูที่หนังสือ "การรวมตัวเลขเชิงเรขาคณิต" โดย Hairer, Lubich และ Wanner
หากโอเปอเรเตอร์ของคุณสร้างกลุ่มการวิเคราะห์เช่นคุณสามารถแทรกค่าที่ซับซ้อนสำหรับ t (โดยทั่วไปสำหรับสมการพาราโบลา) เมื่อไม่นานมานี้ก็พบว่าคุณสามารถรับตัวยึดลำดับสูงขึ้นได้โดยไปที่ระนาบเชิงซ้อน บทความแรกในทิศทางนั้นคือโดย E. Hansen และ A. Ostermann, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdfและ F. Castella, P. Chartier , S. Descombes และ G. Vilmart ทางเลือกของตัวต่อเชิงซ้อนที่มีความ "ดีที่สุด" ในบางแง่มุมเป็นหัวข้อของการวิจัยในปัจจุบันคุณสามารถค้นหาบทความหลายเรื่องเกี่ยวกับ arxiv

การสรุป: หากคุณตั้งสมมติฐานบางอย่างเกี่ยวกับปัญหาของคุณคุณสามารถได้รับบางสิ่งบางอย่าง แต่ถ้าไม่ให้ลำดับ 2 นั้นเป็นจำนวนสูงสุด

ป.ล. : ฉันต้องเอาลิงค์ไปที่ Castella et al-paper เนื่องจากการป้องกันสแปม แต่คุณสามารถหาได้จาก google

— Philipp Dörsek
แหล่งที่มา

5

CCSEกลุ่ม LBNL ได้ใช้เมื่อเร็ว ๆ นี้ผีรอตัดบัญชี Correction (SDC) วิธีการในการไหลจักรจำนวนต่ำที่มีคุณสมบัติทางเคมีที่ซับซ้อน พวกเขาเปรียบเทียบผลลัพธ์ SDC กับการแยกที่แปลกและผลลัพธ์ที่ได้นั้นมีแนวโน้มมาก

นี่คือรายงานฉบับร่างที่มีรายละเอียด: กลยุทธ์การมีเพศสัมพันธ์แบบเลื่อนแก้ไขรอการตัดบัญชีสำหรับการไหลของตัวเลข Mach ต่ำด้วยเคมีที่ซับซ้อน

โปรดทราบว่ารูปแบบ SDC เป็นรูปแบบวนซ้ำที่แปลงเป็นโซลูชันการจัดวางที่มีความแม่นยำสูง แต่ถูกสร้างขึ้นจากวิธีการสั่งซื้อครั้งแรก

— Matthew Emmett
แหล่งที่มา

2

อย่างน้อยที่สุดก็ในหลักการแยกข้อผิดพลาดจะลดลงโดยวิธีการแก้ไขเลื่อนออกไปสเปกตรัม อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าจะเป็นพื้นที่ของการวิจัยเชิงรุกและไม่พร้อมสำหรับการใช้งานทั่วไป

— ไบรอัน
แหล่งที่มา

2

ทรัพยากรใหม่สำหรับรูปแบบการแยกลำดับสูงที่มีรายชื่อค่อนข้างน้อยอยู่ที่นี่:

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/

— เดวิดเคตเชสัน
แหล่งที่มา