วิธีการหาสูตรอ่อนของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสำหรับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์?

ฉันได้แนะนำเบื้องต้นเกี่ยวกับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ซึ่งไม่ได้เน้นความเข้าใจที่ซับซ้อนของ 'สูตรอ่อน' ฉันเข้าใจว่าด้วยวิธีการ galerkin เราจะคูณทั้งสองด้านของ PDE (รูปไข่) ด้วยฟังก์ชั่นการทดสอบแล้วรวมเข้าด้วยกัน (ตามส่วนหรือตามทฤษฎีบท Divergence) บางครั้งฉันต้องรวมสองส่วนก่อนถึงสูตรอ่อน ๆ ที่เหมาะสม (ตามคำตอบที่ด้านหลังของหนังสือ) แต่เมื่อฉันพยายามที่จะใช้แนวคิดเดียวกันกับ PDE อื่น (สมมติว่าพวกเขายังคงเป็นอิสระเวลา) ฉันไม่สามารถจำได้ว่าเมื่อสูตรที่เหมาะสมสำหรับ discretization มี 'ธงสีแดง' ที่บอกได้ไหมว่าแบบฟอร์มนี้สามารถแยกเป็นระบบเชิงเส้นของสมการได้หรือไม่

นอกจากนี้ฉันจะเลือกชุดฟังก์ชันพื้นฐานที่เหมาะสมได้อย่างไร

ถามตัวคุณเองดังนี้:

ก่อนการรวมส่วนต่าง ๆ มีผลต่อการแก้ปัญหาและพื้นที่การแก้ปัญหาอย่างไร

ประการที่สองคุณสามารถสร้างช่องว่างของฟังก์ชั่นย่อย (ฟังก์ชั่น ansatz) ที่คุณสามารถใช้งานได้บ้าง?

ให้เราพิจารณาปัญหาปัวซงสำหรับ , พูด, ใน , โดยมีเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet เหมือนกัน จากการรวมกันด้านซ้ายและด้านขวาของสมการถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันขอบเขตบนพูดสำหรับเรามีฉ∈ L 2 [ 0 , 1 ] L 2ไว∈ L $u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

φ ↦ ∫ ฉφ d $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$และ$\phi \mapsto \int f \phi dx$

เนื่องจากฟังก์ชั่นใด ๆ ในสามารถเป็นโดยประมาณด้วยฟังก์ชั่นที่ราบรื่นพร้อมการรองรับขนาดกะทัดรัดฟังก์ชั่นอินทิกรัลทั้งสองจึงเป็นที่รู้จักอย่างสมบูรณ์หากคุณรู้ค่าสำหรับฟังก์ชั่นทดสอบทั้งหมด แต่ด้วยฟังก์ชั่นการทดสอบคุณสามารถทำการรวมเป็นส่วน ๆ และแปลงด้านซ้ายไปเป็นหน้าที่L $L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

อ่านสิ่งนี้เป็น: "ฉันรับฟังก์ชั่นทดสอบ , คำนวณความแตกต่างของมันและรวมเข้ากับ -u 'เหนือ [0,1] และคืนผลลัพธ์ให้คุณ" แต่ฟังก์ชั่นนั้นไม่ได้ถูกกำหนดและล้อมรอบบนเนื่องจากคุณไม่สามารถรับส่วนต่างของฟังก์ชันได้ พวกเขาอาจดูแปลกโดยทั่วไปL 2 L $\phi$$L^2$$L^2$

เรายังคงสังเกตว่าการทำงานนี้สามารถขยายไปยังพื้นที่ Sobolevและแม้จะมีขอบเขตการทำงานบน 1 ซึ่งหมายความว่าได้รับคุณประมาณสามารถประเมินค่าของจากหลายที่ -norm ของพี' และยิ่งทำงานมีที่แน่นอนไม่ได้กำหนดไว้เท่านั้นและทางทิศแต่ยังกำหนดและทางทิศ 1$H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$$H_0^1$

ตอนนี้คุณสามารถทำได้เช่นใช้ Lax-Milgram lemma ตามที่ปรากฏในหนังสือ PDE ใด ๆ หนังสือที่มีองค์ประกอบ จำกัด ซึ่งอธิบายได้เป็นอย่างดีเฉพาะการวิเคราะห์เชิงหน้าที่เช่นหนังสือคลาสสิกโดย Ciarlet หรือหนังสือเล่มใหม่โดย Braess

บทสรุป Lax-Milgram ให้เครื่องมือ PDE- คนที่ดีสำหรับการวิเคราะห์ที่บริสุทธิ์ แต่พวกเขาใช้เครื่องมือคนแปลกหน้ามากเช่นกันสำหรับวัตถุประสงค์ของพวกเขา ถึงกระนั้นเครื่องมือเหล่านี้ยังเกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเนื่องจากคุณสามารถสร้าง discretization สำหรับช่องว่างเหล่านี้ได้

ตัวอย่างเช่นเพื่อให้มีพื้นที่ย่อยไม่ต่อเนื่องของเพียงแค่ใช้ฟังก์ชั่นหมวก พวกเขาไม่ได้กระโดดและมีความแตกต่างกันเป็นชิ้น ๆ ความแตกต่างของมันคือสนามเวกเตอร์คงที่แบบชิ้นเดียว การก่อสร้างนี้ใช้งานได้ในซึ่งใช้ได้ แต่คุณสามารถหาพื้นที่ ansatz ที่มีฟังก์ชั่นไม่เพียงแค่มีการไล่ระดับสี การไล่ระดับสีของใครในทางกลับกัน? (อีกครั้งสามารถรวมเป็นตารางได้) โดยทั่วไปค่อนข้างยาก$H_0^1$$d=1,2,3,...$

เหตุผลทั่วไปที่คุณสร้างสูตรอ่อน ๆ คือคุณต้องการใช้ Lax-Milgram lemma และกำหนดสูตรเพื่อให้สามารถใช้งานได้จริง (สำหรับเร็กคอร์ด Lax-Milgram ไม่ใช่คำสุดท้ายในบริบทนั้นและ ansatz เว้นวรรคเป็นคำสุดท้ายในการแยกวิเคราะห์ให้ดูเช่นวิธีการ Galerkin ที่ไม่ต่อเนื่อง)$H_0^1$

สำหรับกรณีของเงื่อนไขขอบเขตแบบผสมพื้นที่ทดสอบตามธรรมชาติอาจแตกต่างจากพื้นที่ค้นหาของคุณ (ในการตั้งค่าการวิเคราะห์) แต่ฉันไม่รู้ว่าจะอธิบายยังไงโดยไม่อ้างถึงทฤษฎีการกระจายดังนั้นฉันจึงหยุดที่นี่ ฉันหวังว่านี้จะเป็นประโยชน์.