ความสับสนเกี่ยวกับปัญหาการตรวจจับแบบบีบอัด

ผมอ่านอ้างอิงบางรวมทั้งนี้

ฉันสับสนว่าการเพิ่มประสิทธิภาพการตรวจจับปัญหาการบีบอัดสร้างและพยายามที่จะแก้ปัญหา ใช่ไหม

และ / หรือ

หรือ / และอย่างอื่น?

ไบรอันเป็นจุดบน แต่ฉันคิดว่ามันมีประโยชน์ในการเพิ่มบริบทการตรวจจับที่ถูกบีบอัด

ครั้งแรกที่ทราบว่าที่เรียกว่าบรรทัดฐาน 0 -The ฟังก์ชั่น cardinality หรือจำนวนของค่าภัณฑ์ใน -is ไม่ธรรมดา มันอาจเป็นการดีที่สุดที่จะเขียนมันเหมือนในทุกสิ่งยกเว้นบริบทที่สบายที่สุด อย่าเข้าใจฉันผิดคุณเป็นเพื่อนที่ดีเมื่อคุณใช้ชวเลข แต่ฉันคิดว่ามันมีแนวโน้มที่จะก่อให้เกิดความสับสน x card ( x ) ‖ x ‖ $\|x\|_0$$x$$\mathop{\textbf{card}}(x)$$\|x\|_0$

ผู้คนรู้จักกันมานานแล้วว่าการลด normให้น้อยที่สุดมีแนวโน้มที่จะสร้างโซลูชันที่กระจัดกระจาย มีเหตุผลทางทฤษฎีสำหรับสิ่งนี้ที่เกี่ยวข้องกับการเติมเต็มเชิงเส้น แต่สิ่งที่น่าสนใจมากที่สุดคือไม่ว่าการแก้ปัญหาที่ถูกเบาบาง แต่ที่พวกเขามักจะถูกไปได้เส้นเล็ก นั่นคือการลดจะช่วยให้คุณแก้ปัญหาขั้นต่ำสุดในกรณีที่มีประโยชน์ (พวกเขาหาวิธีนี้ได้อย่างไรเมื่อปัญหา cardinality ขั้นต่ำคือ NP-hard โดยการสร้างปัญหาประดิษฐ์ด้วยวิธีแก้กระจัดกระจายที่รู้จักกัน) นี่ไม่ใช่สิ่งที่ทฤษฎีการเติมเต็มเชิงเส้นสามารถทำนายได้ ‖ x ‖ 1 ‖ x ‖ $\ell_1$$\|x\|_1$$\|x\|_1$

เขตข้อมูลของการตรวจจับการบีบอัดเกิดขึ้นเมื่อนักวิจัยเริ่มระบุเงื่อนไขในเมทริกซ์ที่จะช่วยให้พวกเขารับประกันล่วงหน้าว่าโซลูชันนั้นมีการแยกกันมากที่สุด ดูตัวอย่างเอกสารโดยเร็วที่สุดCandés, Romberg และเต่าและการอภิปรายอื่น ๆ ของจำกัด คุณสมบัติ isometry หรือ RIP เว็บไซต์ที่มีประโยชน์อื่น ๆ ได้ถ้าคุณอยากที่จะดำน้ำในทฤษฎีบางอย่างจะถูกบีบอัดหน้าการตรวจจับเทอเรนเต่าℓ $A$$\ell_1$

เราชอบที่จะสามารถแก้ปัญหาได้

$\min \| x \|_{0}$

เซนต์

$Ax=b$

แต่ปัญหานี้เป็นปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดแบบ NP-Hard แบบ combinatorial ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ในทางปฏิบัติเมื่อ ,และมีขนาดปกติในการตรวจจับแรงกด มันเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพx $A$$x$$b$

$\min \| x \|_{1}$

เซนต์

$Ax=b$

ทั้งในทางทฤษฎี (สามารถทำได้ในเวลาพหุนาม) และในการฝึกการคำนวณปัญหาที่ค่อนข้างใหญ่ที่เกิดขึ้นในการรับรู้แรงกด เราใช้เป็น "ตัวแทน" สำหรับ{0} เรื่องนี้มีเหตุผลง่าย ๆ (หนึ่ง - บรรทัดฐานลดน้อยลงชอบแก้ปัญหาด้วยรายการที่ไม่ใช่ศูนย์ใน ) เช่นเดียวกับทฤษฎีที่ซับซ้อนมากยิ่งขึ้น (ทฤษฎีบทของแบบฟอร์ม "ถ้ามี k-sparse แล้วย่อจะพบโซลูชันที่มีความน่าจะเป็นสูง " ‖ x ‖ 0 x A x = b ‖ x ‖ $\| x \|_{1}$$\| x \|_{0}$$x$$Ax=b$$\| x \|_{1}$

ในทางปฏิบัติเนื่องจากข้อมูลมักมีเสียงดังข้อ จำกัด ที่แน่นอนจึงมักถูกแทนที่ด้วยข้อ จำกัด ของรูปแบบ\ ‖ x - ข‖ 2 ≤ $Ax=b$$\| Ax - b \|_{2} \leq \delta$

มันค่อนข้างธรรมดาที่จะทำงานกับรูปแบบที่ผันแปรของปัญหาที่ถูก จำกัด ตัวอย่างเช่นเราอาจย่อให้เล็กสุด{1}$\min \| Ax - b\|_{2}^{2} + \lambda \| x \|_{1}$

ฉันไม่มีอะไรจะเพิ่ม Brians ไมเคิลและคำอธิบายเกี่ยวกับเทียบกับ 0 แต่เนื่องจากคำถามดูเหมือนจะเกี่ยวกับการรับรู้แบบบีบอัดฉันต้องการเพิ่มมุมมองของฉัน: การตรวจจับแบบบีบอัดไม่ได้เกี่ยวกับการแก้ไข หรือเกี่ยวกับ Sensing ที่ถูกบีบอัดเป็นกระบวนทัศน์ที่มากกว่าซึ่งสามารถระบุได้อย่างคร่าวๆว่าℓ 0นาที‖ x ‖ $\ell^1$$\ell^0$min ‖ x ‖

เป็นไปได้ที่จะระบุสัญญาณกระจัดกระจายจากการวัดเพียงเล็กน้อย

การตรวจวัดแบบบีบอัดนั้นเกี่ยวกับการวัดเพียงเล็กน้อยเท่าที่จะทำได้เพื่อระบุสัญญาณในสัญญาณบางประเภท

หนึ่งวลีลวงคือ:

ทำไมกล้อง 5 ล้านพิกเซลของคุณควรวัดค่า 15 ล้านค่า (สามสำหรับแต่ละพิกเซล) ซึ่งคุณต้องใช้ข้อมูล 15 เมกะไบต์เมื่อเก็บเพียง 2 เมกะไบต์ (หลังจากบีบอัด)
เป็นไปได้หรือไม่ที่จะวัดขนาด 2 เมกะไบต์ทันที?

มีกรอบงานที่แตกต่างกันมาก:

• การวัดเชิงเส้น
• รายการที่ไม่ใช่เชิงเส้น (เช่น "phaseless")
• ข้อมูลเวกเตอร์, เมทริกซ์ / ข้อมูลเทนเซอร์
• sparsity เป็นเพียงจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
• sparsity เป็น "low-rank" หรือแม้แต่ "low complex")

และยังมีวิธีการเพิ่มเติมในการคำนวณการแก้ปัญหากระจัดกระจายเช่นการจับคู่แบบจับคู่ (ตัวแปรเช่นการจับคู่แบบมุมฉาก (OMP), การจับคู่แบบฉากมุมฉาก (ROMP), CoSaMP) หรือวิธีการล่าสุดบนพื้นฐานของข้อความผ่านอัลกอริธึม

หากมีใครระบุว่าการรับรู้แบบบีบอัดโดยมีเพียง - หรือทำให้เล็กลงอย่างใดอย่างหนึ่งนั้นจะขาดความยืดหยุ่นอย่างมากเมื่อจัดการกับปัญหาการเก็บข้อมูลที่ใช้ได้จริงℓ $\ell^1$$\ell^0$

หากหนึ่ง แต่เป็นเพียงความสนใจในการได้รับการแก้ปัญหาเบาบางไปใช้กับระบบเชิงเส้นหนึ่งทำบางสิ่งที่ฉันจะเรียกฟื้นฟูเบาบาง