การแก้ระบบเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์อาร์กิวเมนต์

เราทุกคนคุ้นเคยกับวิธีการคำนวณมากมายเพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นมาตรฐาน

$$Ax=b.$$ อย่างไรก็ตามฉันอยากรู้ว่ามีวิธีการคำนวณ "มาตรฐาน" ใด ๆ สำหรับการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นทั่วไป (จำกัด ขนาด) ของแบบฟอร์ม

$$LA=B,$$ ที่พูดเป็นเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์และเป็นผู้ประกอบการเชิงเส้นการการฝึกอบรมเพื่อเมทริกซ์ซึ่งไม่ได้เกี่ยวข้องกับการ vectorizing เมทริกซ์คือการแปลงทุกอย่างให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน m 1 × n 1 B m 2 × n 2 L m 1 × n 1 m 2 × n $A$$m_1\times n_1$$B$$m_2\times n_2$$L$$m_1\times n_1$$m_2\times n_2$$Ax=b$

เหตุผลที่ฉันถามคือฉันต้องแก้สมการต่อไปนี้สำหรับ :$u$

$$(R^*R+\lambda I)u=f$$ โดยที่คือการแปลงเรดอน 2d, adjoint ของมันและทั้งและเป็นอาร์เรย์ 2d (ภาพ) มันเป็นไปได้ที่จะทำให้เวกเตอร์สมการนี้เป็นจริง แต่มันเป็นความเจ็บปวดโดยเฉพาะถ้าเราไปที่ 3DR ∗ u $R$$R^*$$u$$f$

โดยทั่วไปแล้วอาร์เรย์อย่างไร ตัวอย่างเช่นการแก้ไขโดยที่และเป็นอาร์เรย์ 3 มิติ (ฉันจะต้องดำเนินการนี้ด้วยการแปลงเรดอนในบางจุดเช่นกัน)L A = B A $nD$$LA=B$$A$$B$

ขอบคุณล่วงหน้าและโปรดส่งฉันออกไปที่ StackExchange อื่นหากคุณรู้สึกว่าต้องการ

ใช่คุณได้รับมันถูกต้องและมันจะทำงานได้ดีเมื่อคุณอัพเกรดเป็น 3-D ส่วนที่ง่ายที่สุดจริง ๆ คือผลิตภัณฑ์ด้านใน - แค่ทำผลิตภัณฑ์ดอทมาตรฐานกับเวกเตอร์ไม่ได้ควบคุม เนื่องจากมีแนวโน้มว่าคุณจะมีข้อมูลที่จัดเก็บอย่างต่อเนื่องคุณจึงสามารถดำเนินการนี้ได้ทันที สิ่งนี้สามารถใช้งานได้กับปริภูมิเวกเตอร์ที่ซับซ้อน - เพียงแค่ถือว่าค่าที่ซับซ้อนเป็นคู่ของค่าจริง เพราะสำหรับการกำกับดูแลกิจการที่คุณต้องการจริงสินค้าภายใน⟨ Y , x ⟩ ≜ เรื่อง ( Y H x )$\mathbb{R}^n$$\langle y, x\rangle\triangleq \mathop{\textrm{Re}}(y^Hx)$

สิ่งหนึ่งที่คุณต้องระวังเมื่อใช้ CG (หรือวิธีการวนซ้ำที่คล้ายกัน) กับตัวดำเนินการเชิงเส้นทั่วไปคือการนำadjointของตัวดำเนินการเชิงเส้นมาใช้อย่างถูกต้อง นั่นคือคนที่มักจะได้รับที่ถูกต้อง แต่ทำผิดพลาดการดำเนินZ = F * ( Y )$y=F(x)$$z=F^*(y)$

ผมขอแนะนำให้ดำเนินการทดสอบอย่างง่ายที่ใช้ประโยชน์จากตัวตนต่อไปนี้: สำหรับการใด ๆ ที่สอดคล้องและy ที่ , ⟨ Y , F ( x ) ⟩ = ⟨ F * ( Y ) , x ⟩ ดังนั้นสิ่งที่คุณทำคือการสร้างค่าสุ่มของxและyเรียกใช้พวกเขาผ่านการดำเนินการไปข้างหน้าและ adjoint ตามลำดับและคำนวณทั้งสองผลิตภัณฑ์ด้านบน ตรวจสอบให้แน่ใจว่าตรงกับความแม่นยำที่สมเหตุสมผลและทำซ้ำสองสามครั้ง$x$$y$

$$\langle y, F(x) \rangle = \langle F^*(y), x \rangle.$$ $x$$y$

แก้ไข: คุณจะทำอย่างไรถ้าผู้ดำเนินการเชิงเส้นของคุณควรจะสมมาตร? คุณต้องตรวจสอบความสมมาตรนั้นด้วย ดังนั้นการใช้การทดสอบเดียวกันเพียงแค่สังเกตว่า --- ใช้การดำเนินการเดียวกันกับxและy ที่ แน่นอนว่า OP มีทั้งโอเปอเรเตอร์และอสมมาตรเพื่อจัดการกับ ...$F=F^*$$x$$y$

เนื่องจากระบบของฉันมีความสมมาตรและเป็นบวกแน่นอน (เนื่องจากตัวดำเนินการเชิงเส้นของฉันเขียนเป็น ) การไล่ระดับสีแบบคอนจูเกตสามารถปรับเปลี่ยนเพื่อแก้สมการชนิดนี้ซ้ำได้ การปรับเปลี่ยนเพียงมาเมื่อคำนวณผลิตภัณฑ์ภายใน - เช่นการคำนวณสินค้าภายในทั่วไปในลักษณะเช่น CG R T k R kหรือพีทีkพี k ในเวอร์ชั่นที่แก้ไขเราใช้ผลิตภัณฑ์ด้านในของ Frobenius ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยรวมรายการของ Hadamard (จุดตามจุด) เข้าด้วยกัน กล่าวคือ$R^*R+\lambda I$$r_k^Tr_k$$p_k^TAp_k$

$$\langle A,B\rangle=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$$

ฉันสงสัยว่าสิ่งนี้จะผ่านไปได้ดีเมื่อฉันอัพเกรดเป็น 3D อาร์เรย์แม้ว่าฉันยังไม่เห็นผลิตภัณฑ์ด้านในของ Frobenius ที่กำหนดไว้ในอาร์เรย์ 3 มิติ (ฉันจะทำงานภายใต้สมมติฐานที่ว่า

ฉันจะยังคงสนใจวิธีการทั่วไปมากขึ้นถ้าใครรู้เรื่องใด ๆ !