โซลูชันที่ผลิตขึ้นสำหรับ Navier-Stokes ที่ไม่สามารถบีบอัดได้ - วิธีหาเขตความเร็วที่ไม่แตกต่างกันอย่างไร

10

ในวิธีการของการแก้ปัญหาที่ผลิต (MMS) อย่างใดอย่างหนึ่ง postulates วิธีการแก้ปัญหาที่แน่นอนแทนมันในสมการและคำนวณคำแหล่งที่มาที่สอดคล้องกัน วิธีการแก้ปัญหานั้นจะใช้สำหรับการตรวจสอบรหัส

สำหรับสมการเนเวียร์ - สโตกส์ที่ไม่สามารถบีบอัดได้ MMS นำไปสู่คำที่มา (ไม่เป็นศูนย์) ได้อย่างง่ายดายในสมการความต่อเนื่อง แต่ไม่ใช่รหัสทั้งหมดที่อนุญาตให้ใช้ข้อกำหนดแหล่งที่มาในสมการความต่อเนื่องดังนั้นสำหรับรหัสเหล่านี้จะมีเพียงโซลูชันที่ผลิตด้วยเขตข้อมูลความเร็วที่ไม่มีความแตกต่างเท่านั้น ฉันพบตัวอย่างนี้สำหรับโดเมน โดยทั่วไปในกรณี 3 มิติหนึ่งจะผลิตสนามความเร็วที่ไม่มีความแตกต่างได้อย่างไร $\Omega=[0,1]^2$

\begin{aligned} {ยู}_{1} & = - \cos (π x) บาป (π Y) \\ {ยู}_{2} & = บาป (π x) \cos (π Y) \end{aligned}

$\begin{align} u_1 &= -\cos(\pi x) \sin(\pi y) \\ u_2 &= \sin(\pi x) \cos(\pi y) \end{align}$

navier-stokes incompressible verification

— คริส
แหล่งที่มา

7

ใช้ฟังก์ชั่นเวกเตอร์ streamfunction หรือหาผลคูณของการไล่สีสองค่า Ie:

ยู = \nabla \times A

$\boldsymbol{u}=\nabla\times\boldsymbol{A}$ โดยที่

A

$\boldsymbol{A}$ เป็นเขตข้อมูลเวกเตอร์ที่คุณเลือกหรือ

ยู = \nabla ฉ \times \nabla ก.

$\boldsymbol{u}=\nabla f\times\nabla g$ โดยที่

f

$f$ และ

g

$g$ เป็นสองสเกลาฟิลด์ที่คุณเลือก

ทั้งสองอย่างนั้นยากที่จะมีความเร็วที่แตกต่างกันและกำหนดเงื่อนไขขอบเขต แต่ตราบใดที่รหัสของคุณอนุญาตให้คุณตั้งค่าฟังก์ชันตามอำเภอใจสำหรับเงื่อนไขขอบเขตของคุณคุณควรจะตกลง

การทางพิเศษแห่งประเทศไทย: แน่นอนสมการโมเมนตัมของคุณจะต้องยอมรับฟังก์ชั่นการบังคับ แต่ฉันรู้สึกดีกว่าเสมอเกี่ยวกับการบังคับให้สมการโมเมนตัมกว่าที่ฉันได้เพิ่มด้านขวาไปยังสมการความต่อเนื่อง

— บิลบาร์ ธ
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! (บังคับของสมการความต่อเนื่องเกิดขึ้นเฉพาะในการสร้างแบบจำลองการเกิดโพรงอากาศเท่าที่ผมรู้)

— คริส

5

นี่ไม่ใช่คำตอบทั่วไป แต่สำหรับสมการเนเวียร์ - สโตคมีวิธีการผลิตที่อธิบายการไหลที่แท้จริง ตัวอย่างเช่น Kovasznay flow field เป็นตัวเลือกยอดนิยม:

http://link.springer.com/article/10.1007/BF00948290

การอ้างอิงดั้งเดิมคือ: Kovasznay LIG "Laminar flow ด้านหลังตารางสองมิติ" พร Cambridge Philos Soc., หน้า 44, 1948

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

พ.ศ. 2491 (!) ฉันไม่ทราบว่านี่คือ "การไหลที่แท้จริง" คุณหมายความว่าสามารถวัดได้จริงในการทดสอบทางกายภาพ (ซึ่งต่างจากการจำลองในการทดสอบเชิงตัวเลข)

— chris

ฉันเชื่อว่าใช่

— Wolfgang Bangerth

ไม่มันเหมาะสำหรับการไหลในระยะทางหลังกริด แต่ไม่มีใครรู้ว่ากริดดูเหมือนว่าและมีแนวโน้มว่ามันจะต้องทำจากวัสดุที่ "นุ่มมาก"

— Guido Kanschat

2

นั่นคือสิ่งที่ฉันมักจะทำ

กำหนดฟังก์ชั่นปรับปรุง:

Ψ = [\begin{matrix} ψ_{x} \\ ψ_{Y} \\ ψ_{Z} \end{matrix}]

$\Psi = \left[ \begin{array}{c} \psi_x\\ \psi_y\\ \psi_z\\ \end{array} \right]$

ความเร็วเท่ากับ:

ยู = \nabla \times Ψ = [\begin{matrix} {ยู}_{x} = \partial_{Y} ψ_{Z} - \partial_{Z} ψ_{Y} \\ {ยู}_{Y} = \partial_{Z} ψ_{x} - \partial_{x} ψ_{Z} \\ {ยู}_{Z} = \partial_{x} ψ_{Y} - \partial_{Y} ψ_{x} \end{matrix}] .

$\mathbf{u} = \nabla\times\Psi = \left[ \begin{array}{c} u_x =\partial_y \psi_z - \partial_z \psi_y\\ u_y =\partial_z \psi_x - \partial_x \psi_z\\ u_z =\partial_x \psi_y - \partial_y \psi_x\\ \end{array} \right].$

ตอนนี้คุณสามารถเลือกความดันที่ไม่มีค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมและสร้างคำที่ใช้บังคับได้

ฉันโพสต์โค้ดตัวอย่าง SymPy สำหรับและเงื่อนไขขอบเขตที่เป็นเนื้อเดียวกันให้เพลิดเพลิน: $\Omega = [0,1]^3$

 from sympy import *

 x,y,z = symbols('x y z')

 X = Matrix([[x],[y],[z]])

 psi = zeros(3,1)
 psi[0,0] = sin(2*pi*x)*y**2*(1-y)**2*z**2*(1-z)**2
 psi[2,0] = x**2*(1-x)**2*y**2*(1-y)**2*sin(2*pi*z)

 curl_psi = zeros(3,1)
 curl_psi[0] = diff(psi[2],X[1]) - diff(psi[1],X[2])
 curl_psi[1] = diff(psi[0],X[2]) - diff(psi[2],X[0])
 curl_psi[2] = diff(psi[1],X[0]) - diff(psi[0],X[1])

— Nicola Cavallini
แหล่งที่มา