สมการปัวซอง: กำหนดการไล่ระดับสีแบบเต็มเป็นเงื่อนไขขอบเขตผ่านตัวคูณแบบลากรองจ์

ฉันมีปัญหาทางกายภาพที่ควบคุมโดยสมการปัวซองในสองมิติ ฉันมีการวัดองค์ประกอบการไล่ระดับสีทั้งสองและตามส่วนของขอบเขตดังนั้นต้องการกำหนด และแพร่กระจายไปยังทุ่งไกล∂ u / ∂ x ∂ u / ∂ y Γ m ∂

$$-\nabla^2 u = f(x,y), \; in \; \Omega$$ $\partial{u}/\partial{x}$$\partial{u}/\partial{y}$$\Gamma_m$ $$\frac{\partial{u}}{\partial{x_i}}_0 = g_m, \; on \; \Gamma_m$$

องค์ประกอบการไล่ระดับสีแทนเจนต์ , ฉันสามารถรวมเข้าด้วยกันแล้วบังคับใช้ผ่านเงื่อนไข Dirichlet เพื่อกำหนดองค์ประกอบปกติพร้อมกัน , ฉันรวบรวมฉันจะต้องผ่านตัวคูณลากรองจ์∫แกมมาเมตร∂$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(t,0)}$∂

$$\int_{\Gamma_m}\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(t,0)} \, ds = u_0$$ $\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(n,0)}$

ดังนั้นฉันคิดว่ารูปแบบความแปรปรวนคือ ฉันใช้เวลานานในการพยายามรวมเข้าด้วยกันจากข้อมูลเกี่ยวกับปัญหาที่เกี่ยวข้องเช่น https: //answers.launchpad.net/fenics/+question/212434 https://answers.launchpad.net/fenics/+question/216323

$$\int_\Omega \nabla{u} \cdot\nabla{v}\, dx - \lambda \int_{\Gamma_m} ( \frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(n,0)}-g_m ) v \,ds = \int_\Omega f\, v\, dx$$

แต่ก็ยังมองไม่เห็นว่าฉันกำลังทำผิดอยู่ที่ไหน ความพยายามแก้ไขของฉันจนถึงขณะนี้คือ:

from dolfin import *

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquareMesh(64, 64)
V = FunctionSpace(mesh, "Lagrange", 1)
R = FunctionSpace(mesh, "R", 0)
W = V * R

# Create mesh function over cell facets
boundary_parts = MeshFunction("uint", mesh, mesh.topology().dim()-1)

# Mark left boundary facets as subdomain 0
class LeftBoundary(SubDomain):
    def inside(self, x, on_boundary):
        return on_boundary and x[0] < DOLFIN_EPS

Gamma_Left = LeftBoundary()
Gamma_Left.mark(boundary_parts, 0)

class FarField(SubDomain):
    def inside(self, x, on_boundary):
        return on_boundary and ( (x[0] > 1.0-DOLFIN_EPS) \
               or (x[1]<DOLFIN_EPS) or (x[1]> 1.0-DOLFIN_EPS) )

Gamma_FF = FarField()
Gamma_FF.mark(boundary_parts, 1)

# Define boundary condition
u0 = Expression("sin(x[1]*pi)")
bcs = [DirichletBC(V, u0, Gamma_Left)]

# Define variational problem
(u, lmbd) = TrialFunctions(W)
(v, d) = TestFunctions(W)

f = Expression("10*exp(-(pow(x[0] - 0.5, 2) + pow(x[1] - 0.5, 2)) / 0.02)")
g = Constant(0.0)
h = Constant(-4.0)
n = FacetNormal(mesh)

F = inner(grad(u), grad(v))*dx + d*dot(grad(u),n)*ds(0) + lmbd*dot(grad(v),n)*ds(0)-\
   (f*v*dx + g*v*ds(1) + h*d*ds(0) + lmbd*h*ds(0))

a = lhs(F)
L = rhs(F)

# Compute solution
A = assemble(a, exterior_facet_domains=boundary_parts)
b = assemble(L, exterior_facet_domains=boundary_parts)
for bc in bcs: bc.apply(A, b)

w = Function(W)
solve(A, w.vector(), b, 'lu')
(u,lmbd) = w.split()

# Plot solution
plot(u, interactive=True)

ซึ่งทำงาน แต่ให้ผลลัพธ์ที่มีเสียงดังไม่ได้เลยคล้ายกับวิธีการแก้สมการปัวซอง ดูเหมือนว่าจะมีบางอย่างเกี่ยวกับการรวมฟังก์ชั่นช่องว่าง แต่ฉันไม่สามารถหาข้อผิดพลาด
ฉันขอขอบคุณความช่วยเหลือหรือตัวชี้ไปในทิศทางที่ถูกต้อง - ขอบคุณมากแล้ว!
ไชโย
มาร์คัส

ขั้นแรกให้เป็นจุดทั่วไป: คุณไม่สามารถกำหนดเงื่อนไขขอบเขตโดยพลการสำหรับตัวดำเนินการอนุพันธ์บางส่วนและคาดหวังว่าสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (ซึ่งรวมถึงทั้งตัวดำเนินการและเงื่อนไขขอบเขต) นั้นถูกวางตำแหน่งอย่างดีนั่นคือยอมรับโซลูชันที่ไม่ซ้ำกัน data - ทั้งหมดนี้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการพยายามคำนวณบางสิ่ง

ขึ้นอยู่กับผู้ปฏิบัติงานมักจะมีเงื่อนไขที่ถูกต้องจำนวนหนึ่งที่คุณสามารถกำหนด (เพื่อให้ได้รสชาติดูเอกสารประกอบสามระดับโดย Lions and Magenes) อย่างไรก็ตามสิ่งที่คุณพยายามทำ (ระบุการไล่ระดับสีแบบเต็มซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไขทั้ง Dirichlet และ Neumann ในขอบเขตเดียวกัน (ส่วนหนึ่งของ) สำหรับ PDE ลำดับที่สอง) ไม่ได้อยู่ในหมู่พวกเขา - สิ่งนี้เรียกว่าปัญหา Cauchy ด้านข้างและไม่ถูกต้อง: ไม่มีการรับประกันว่าข้อมูลขอบเขตที่กำหนดไว้คู่หนึ่งยอมรับการแก้ปัญหาและแม้ว่าจะมีอยู่ก็ไม่มีความเสถียรเมื่อเทียบกับการรบกวนของข้อมูลเพียงเล็กน้อย (อันที่จริงนี่เป็นปัญหาที่ไม่ดีดั้งเดิมในแง่ของ Hadamard และตัวอย่างคลาสสิกว่าทำไมคุณไม่สามารถเพิกเฉยต่อขอบเขตของขอบเขตเมื่อพูดถึงปัญหาที่เกิดขึ้นได้คุณสามารถค้นหาตัวอย่างชัดเจนในการบรรยายของเขาเกี่ยวกับปัญหาของ Cauchy สมการจากยุค 20)

ตอนนี้สำหรับปัญหาเฉพาะของคุณ (ซึ่งอาจเป็นตัวอย่างของปัญหา XY ) ถ้าผมเข้าใจอย่างถูกต้องคุณต้องการที่จะแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นภายนอกสม Poisson และคุณใช้โดเมน computional สองมิติ ) คุณมีข้อมูลเต็มรูปแบบ (Dirichlet - ใช้เคล็ดลับอนุพันธ์วง - และนอยมันน์) บน (พูด) x = R หากRมีขนาดใหญ่พอคุณสามารถพิสูจน์ภาวะรังสีได้ (ซึ่งกำหนดพฤติกรรมเชิงซีมโทติคของสารละลายของคุณที่x → ∞ ); ดูเช่นหนังสือ$(r,R)\times(a,b)$$x=r$$R$$x\to \infty$วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับปัญหาภายนอก โดย Long'an Ying คำถามคือสิ่งที่คุณรู้เกี่ยวกับชิ้นส่วนเขตแดนเหลือและY = B$y=a$$y=b$

1. หากคุณสามารถกำหนดเงื่อนไขขอบเขต (Neumann, Robin, Dirichlet - ซึ่งคุณจะต้องแก้ไขค่าคงที่ในการรวมกันของ tangential อนุพันธ์โดยวิธี) แล้วก็เพียงพอที่จะใช้องค์ประกอบปกติของการไล่ระดับสีของคุณเป็นเงื่อนไขของ Neumann (ถ้าคุณสามารถแก้ไขโหมดคงที่) หรือรวมองค์ประกอบแทนเจนต์เป็นเงื่อนไข Dirichlet เนื่องจากทั้งสองเงื่อนไขน่าจะสอดคล้องกับฟังก์ชั่นเดียวกันคุณจะได้คำตอบเหมือนกัน

2. หากคุณไม่ทราบพฤติกรรมที่และy = bคุณมีปัญหา Cauchy ด้านข้างจริงๆและคุณไม่สามารถคำนวณวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์มาตรฐาน วิธีมาตรฐานในการจัดการกับสิ่งนี้คือวิธีการเสมือนการย้อนกลับ (แนะนำโดยLattésและ Lions ในทศวรรษ 1960 ดูหนังสือของพวกเขา) ซึ่งประกอบด้วยการประมาณปัญหาอันดับสองโดยปัญหาลำดับที่สี่ (ซึ่งคุณสามารถ - และ ต้องกำหนดเงื่อนไขขอบเขตสองเงื่อนไข) ในกรณีของคุณนี้จะเป็นจำนวนเงินเปลี่ยน- Δ U = ฉโดย- Δ U + ε Δ $y=a$$y=b$$-\Delta u=f$สำหรับบางขนาดเล็ก ε > 0 (สิ่งนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นการลดสิ่งตกค้างในบรรทัดฐานที่เหมาะสมและเพิ่มคำว่า normalization H 2 ซึ่งเกี่ยวข้องกับความคิดเห็นของคุณเกี่ยวกับการจัดการปัญหาเป็นปัญหาผกผัน) คุณสามารถแสดงข้อมูลที่เข้ากันได้ (เช่นคู่ของขอบเขต เงื่อนไขที่จริงตรงกับวิธีการแก้ปัญหา Uของสม Poisson) การแก้กึ่ง reversibilityยูεบรรจบกันเพื่อ Uเป็น ε →การ 0$-\Delta u + \varepsilon \Delta^2 u=f$$\varepsilon>0$$H^2$$u$$u_\varepsilon$$u$$\varepsilon\to0$

   เนื่องจากนี่เป็นปัญหาอันดับที่สี่ของการแก้ปัญหาในวิธีที่ดีที่สุดในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขคือการใช้สูตรองค์ประกอบไฟไนต์ผสมเช่นที่อธิบายไว้ในบทความโดยDardé, Hannukainen และHyvönen (นอกจากนี้ยังมีบางสไลด์ออนไลน์) ไม่ควรยากเกินไปที่จะใช้วิธีนี้โดยใช้ FEniCS$H^2$

คุณไม่สามารถคาดหวังได้ว่าวิธีแก้ปัญหาที่แก้ไขของคุณจะเป็นวิธีแก้ปัญหาของปัวซองเนื่องจากคุณจำเป็นต้องเปลี่ยนปัญหาเพื่อให้ได้ตำแหน่งที่ดี

$$F(u, \lambda) = \int_\Omega \frac{1}{2}|\nabla u|^2 \;\mathrm{d}x - \int_\Omega f u \;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} g u \;\mathrm{d}S + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \lambda (u-u_\mathrm{D})\;\mathrm{d}S$$ $(u,\lambda) \in V\times L^2(\Gamma_\mathrm{N})$$V = \{v\in H^1;v|_{\Gamma_\mathrm{D}}=0\}$$\Gamma_\mathrm{D}$$u_\mathrm{D}$$\Gamma_\mathrm{N}$$F(u)$ $$0 = \mathrm{D}F(u)[v] = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\mathrm{d}x - \int_\Omega fv\;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} gv\;\mathrm{d}S \quad \forall v\in V,$$ ${\Gamma_\mathrm{N}}$${\Gamma_\mathrm{D}}$ $$0 = \mathrm{D}F(u,\lambda)[v,\mu] = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\mathrm{d}x - \int_\Omega fv\;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} gv\;\mathrm{d}S \quad + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \lambda v\;\mathrm{d}S + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \mu (u-u_\mathrm{D})\;\mathrm{d}S \quad \forall (v,\mu)\in V\times L^2(\Gamma_\mathrm{N}),$$ $-\Delta u=f$$\frac{\partial u}{\partial\mathbf{n}} = g-\lambda$$\Gamma_\mathrm{N}$$\Gamma_\mathrm{N}$

$\lambda\ll|g|$

$\Gamma_\mathrm{D}$$v\in V$$\Gamma_\mathrm{D}$

บทสรุปคือคุณไม่สามารถคาดหวังได้ว่าลำดับที่สองของ PDE จะยอมรับเงื่อนไขขอบเขตอิสระสองประการ

---

$F(u,\lambda)$$\mathrm{D}F(u,\lambda)[v,\mu]$derivative()

$F(u,\lambda)$$\lambda\in L^2(\Gamma_\mathrm{N})$$\lambda\in L^2(\Omega)$$\lambda\in\mathbb{R}$

วิธีการของคุณไม่สามารถทำงานได้อย่างแน่นอนเพราะการดำเนินการและอาจเป็นเพราะสูตรของคุณ

การกำหนดเงื่อนไข Dirichlet ใน dolfin ในที่สุดก็ตั้งค่า DOF ที่สอดคล้องกันของพื้นที่ทดสอบของคุณให้เป็นศูนย์

นี่เป็นข้อความที่ตัดตอนมาจากคู่มือfenics :

บทที่ 3.3.9 (สิ้นสุด): การประยุกต์ใช้เงื่อนไขขอบเขต Dirichlet กับระบบเชิงเส้นจะระบุองศาอิสระทั้งหมดที่ควรตั้งค่าตามค่าที่กำหนดและปรับเปลี่ยนระบบเชิงเส้นเพื่อให้สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขต นี่คือความสำเร็จโดย zeroing และการแทรก 1 ในแนวทแยงของแถวของเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับค่า Dirichlet และการแทรกค่า Dirichlet ในรายการที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ด้านขวา [... ]

$v$$\Gamma_m$

โดยสรุปการใช้รูทีนเริ่มต้นใน dolfin คุณไม่สามารถใช้ทั้ง Dirichlet และเงื่อนไขอื่น ๆ ในขอบเขตเดียวกัน

อย่างไรก็ตามก่อนที่คุณจะพยายามแก้ไขสิ่งนี้ในการนำไปใช้ของคุณไปหาพื้นที่ทดสอบที่เหมาะสมสำหรับสูตรทางคณิตศาสตร์ของคุณ (เนื่องจาก @Jan Blechta เพิ่งพูดถึง)