ใช้การทำซ้ำจุดคงที่เพื่อแยกระบบของ pde

สมมติว่าฉันมีปัญหาค่าขอบเขต:

$$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$$ $$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$$ $$u=h \text{ in } \partial\Omega$$

เป้าหมายของฉันคือการสลายการแก้ปัญหาของคู่นี้ให้เป็นลำดับของ PDE ที่ไม่แยกตัว ในการแยกระบบออกฉันใช้การวนซ้ำแบบจุดคงที่กับลำดับการประมาณ$(u^k,v^k)$เช่นนั้น

$$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$$ $$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$$

ในทางทฤษฎีสิ่งนี้จะช่วยให้ฉันแก้สมการทั้งสองเป็น PDE ของรูปไข่อย่างหมดจด อย่างไรก็ตามฉันไม่เคยเห็นการทำซ้ำจุดคงที่มาใช้กับ PDE ในวิธีนี้ ฉันได้เห็นการวนซ้ำจุดคงที่ที่ใช้กับสมการที่แยกด้วยตัวเลข (วิธีผลต่างอันตะ จำกัด , วิธีไฟไนต์อิลิเมนต์ ฯลฯ ) แต่ไม่เคยใช้กับสมการต่อเนื่องโดยตรง

ฉันละเมิดหลักการทางคณิตศาสตร์ที่โจ่งแจ้งโดยทำสิ่งนี้หรือไม่? มันถูกต้องทางคณิตศาสตร์หรือไม่? ฉันสามารถแก้ปัญหา PDE คู่กันเป็นลำดับของ PDE ที่ไม่แยกส่วนได้โดยใช้การวนซ้ำจุดคงที่ที่ใช้กับปัญหาตัวแปร CONTINUOUS แทนที่จะเป็นปัญหา DISCRETE หรือไม่

ณ จุดนี้ฉันไม่ได้กังวลจริง ๆ ว่าจะใช้วิธีนี้ได้จริงหรือไม่ แต่มันก็เป็นไปได้ในทางทฤษฎี ข้อเสนอแนะใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก!

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

$$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\ $$ (รวมถึงเงื่อนไขขอบเขต)

เป็นที่ชัดเจนว่าหากลำดับนี้มาบรรจบกันมันจะเป็นทางออกของชุด PDE ดั้งเดิมของคุณ

$x^k\to x^{k+1}$$u^0$$v^0$

$$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$$ $|q|<1$$(u^{k-1}, v^{k-1})$$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

ตรรกะนี้ทำงานได้ทั้งในพื้นที่ต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง