ความผันผวนในปัญหาการกระจัดกระจายปฏิกิริยาแปลกประหลาดกับองค์ประกอบ จำกัด

เมื่อ FEM-discretizing และการแก้ปัญหาการแพร่ปฏิกิริยาเช่น ด้วย (ก่อกวนเอกพจน์) การแก้ปัญหาของปัญหาที่เกิดขึ้นต่อเนื่องมักจะแสดงชั้นแกว่งใกล้กับเขตแดน ด้วย ,และเชิงเส้นองค์ประกอบ จำกัด , การแก้ปัญหาดูเหมือน

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

การแก้ปัญหาที่ก่อกวนอย่างแปลกประหลาด

ฉันเห็นว่ามีงานวรรณกรรมจำนวนมากที่นั่นสำหรับผลข้างเคียงที่ไม่พึงประสงค์เมื่อเกิดจากการพาความร้อน (เช่นการแยกตัวในที่อยู่เหนือลม) แต่เมื่อพูดถึงปฏิกิริยา

มี discretizatons ที่หลีกเลี่ยงความผันผวนเช่นที่รักษา monotonicity หรือไม่ สิ่งใดที่อาจมีประโยชน์ในบริบทนี้

— Nico Schlömer
แหล่งที่มา

รูปแบบที่แตกต่างจากส่วนกลางไม่ใช่การรักษาความน่าเบื่อเพราะมันนำไปสู่M-matrixหรือไม่?

— ฮุ่ยจางจาง

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

@HuiZhang คุณถูกต้องแน่นอนในกรณีที่มีความแตกต่างแน่นอน (และปริมาณ จำกัด ด้วย) ฉันจะปรับคำตอบให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าฉันสนใจองค์ประกอบที่ จำกัด

— Nico Schlömer

วิธีการที่ไม่ต่อเนื่องของ Galerkin ได้รับความนิยมอย่างมากสำหรับปัญหาดังกล่าว - คุณเคยดูหนังสือของ Di Pietro และ Ern หรือไม่?

— Christian Clason

คำตอบ:

ในกรณีที่คุณแสดงโซลูชันมีเลเยอร์ขอบเขต หากคุณไม่สามารถแก้ไขได้เนื่องจากตาข่ายของคุณหยาบเกินไปสำหรับทุกเรื่องในทางปฏิบัติโซลูชันจะไม่ต่อเนื่องกับรูปแบบตัวเลข

$N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

TL; DR:ตัวเลือกของคุณมี จำกัด 1) goute force adaptive สำหรับโซลูชันที่แม่นยำและมีราคาแพง 2) ใช้การกระจายแบบตัวเลขสำหรับโซลูชันที่มีความแม่นยำน้อยกว่า แต่มีเสถียรภาพหรือ (โปรดของฉัน) 3) ใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า สองปัญหาภายใน / ภายนอกที่ไม่แพงและให้ asymptotics ที่จับคู่กันทำเวทย์มนตร์!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ วิธีการแก้ปัญหาภายในได้อย่างง่ายดาย - ในกรณีนี้แม้การวิเคราะห์

นี่คือความจริงแล้วเทคนิคที่เป็นที่นิยม (และยังคงเป็น) เป็นที่นิยมอย่างมากในการแก้ปัญหาเลเยอร์ขอบเขตเขตลามินาร์ในกลศาสตร์ของไหลในสมัยก่อน ในความเป็นจริงถ้าคุณดูที่สมการ Navier-Stokes ที่ตัวเลข Reynolds สูงคุณกำลังเผชิญกับปัญหาการก่อกวนเอกพจน์อย่างมีประสิทธิภาพเช่นเดียวกับที่คุณพูดถึงที่นี่พัฒนาขอบเขตชั้น (ความจริงสนุก: คำว่า "ขอบเขตขอบเขต" การวิเคราะห์จริงมาจากปัญหาเลเยอร์ขอบเขตของเหลวที่ฉันเพิ่งอธิบาย)

$u_0 = 1$

— GradGuy
แหล่งที่มา