แพคเกจซอฟต์แวร์สัญลักษณ์สำหรับการแสดงออกของเมทริกซ์?

เรารู้ว่านั้นสมมาตรและเป็นบวกแน่นอน เรารู้ว่าเป็นมุมฉาก:$\mathbf A$$\mathbf B$

คำถาม:สมมาตรและเป็นบวกแน่นอน? คำตอบ: ใช่$\mathbf B \cdot\mathbf A \cdot\mathbf B^\top$

คำถาม: คอมพิวเตอร์บอกเราได้ไหม คำตอบ: อาจเป็นไปได้

มีระบบพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ (เช่น Mathematica) ที่จัดการและเผยแพร่ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับเมทริกซ์หรือไม่?

แก้ไข: เพื่อความชัดเจนฉันถามคำถามนี้เกี่ยวกับเมทริกซ์ที่นิยามไว้อย่างเป็นนามธรรม คือฉันไม่มีรายการที่ชัดเจนสำหรับและฉันเพิ่งรู้ว่าพวกเขาทั้งเมทริกซ์และมี attribues เฉพาะเช่น symetric บวกแน่นอน ฯลฯ ...$A$$B$

แก้ไข: นี่คือ SymPy

$ isympy
In [1]: A = MatrixSymbol('A', n, n)
In [2]: B = MatrixSymbol('B', n, n)
In [3]: context = Q.symmetric(A) & Q.positive_definite(A) & Q.orthogonal(B)
In [4]: ask(Q.symmetric(B*A*B.T) & Q.positive_definite(B*A*B.T), context)
Out[4]: True

คำตอบเก่ากว่าที่แสดงงานอื่น ๆ

ดังนั้นหลังจากที่ตรวจสอบเรื่องนี้สักพักนี่คือสิ่งที่ฉันได้พบ

คำตอบปัจจุบันสำหรับคำถามเฉพาะของฉันคือ "ไม่ไม่มีระบบปัจจุบันที่สามารถตอบคำถามนี้ได้" อย่างไรก็ตามมีบางสิ่งที่ดูเหมือนว่าจะเข้ามาใกล้

ครั้งแรกที่แมตต์ Knepley และ Lagerbaer ทั้งชี้ไปที่การทำงานของดีเอโก้ Fabregat และเปาโล Bientinesi งานนี้แสดงให้เห็นถึงความสำคัญที่อาจเกิดขึ้นและความเป็นไปได้ของปัญหานี้ มันเป็นการอ่านที่ดี น่าเสียดายที่ฉันไม่แน่ใจว่าระบบของเขาทำงานอย่างไรหรือมีความสามารถ (ถ้าใครรู้เรื่องข้อมูลสาธารณะอื่น ๆ ในหัวข้อนี้จะแจ้งให้ฉันทราบ)

ประการที่สองมีห้องสมุดพีชคณิตเทนเซอร์ที่เขียนขึ้นสำหรับ Mathematica ที่เรียกว่าxActซึ่งจัดการกับสมมาตรและสัญลักษณ์ดังกล่าว มันทำบางสิ่งได้ดีมาก แต่ไม่ได้ปรับให้เหมาะกับกรณีพิเศษของพีชคณิตเชิงเส้น

ประการที่สามกฎเหล่านี้ถูกเขียนอย่างเป็นทางการในห้องสมุดสองแห่งสำหรับCoqซึ่งเป็นผู้ช่วยพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติ (Google ค้นหาพีชคณิตเชิงเส้น / เมทริกซ์ coq เพื่อค้นหาบางประการ) นี่เป็นระบบที่ทรงพลังซึ่งน่าเสียดายที่มนุษย์ต้องมีปฏิสัมพันธ์

หลังจากพูดคุยกับบางคนที่รู้จักทฤษฎีบทพวกเขาแนะนำให้มองการเขียนโปรแกรมแบบลอจิก (เช่น Prolog ซึ่ง Lagerbaer แนะนำด้วย) สำหรับเรื่องแบบนี้ สำหรับความรู้ของฉันนี้ยังไม่ได้ทำ - ฉันอาจเล่นกับมันในอนาคต

ปรับปรุง: ฉันได้ดำเนินการนี้โดยใช้ระบบม้อด รหัสของฉันถูกโฮสต์บน Github

การคำนวณเมทริกซ์เชิงสัญลักษณ์บางอย่าง (เช่นการเสร็จสิ้นการบล็อกเมทริกซ์) สามารถทำได้ด้วยแพ็คเกจ NCAlgebra http://www.math.ucsd.edu/~ncalg/ (ซึ่งทำงานภายใต้ mathematica)

Bergman http://servus.math.su.se/bergman/เป็นแพ็คเกจใน Lisp ที่มีความสามารถคล้ายกัน

เอกสารที่เกี่ยวข้องบางอย่าง:
http://math.ucsd.edu/~helton/osiris/COMPALG2000/ohRevisIJC.pdf
http://math.ucsd.edu/~thesis/thesis/dkronewitter/dkronewitter/dkronewitter/pkronewitter.pdf
http: // www tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207170600882346

ฉันคิดว่าCASระบบส่วนใหญ่สามารถแสดงสิ่งนี้สำหรับ2x2และ3x3เมทริกซ์เนื่องจากโครงสร้างสัญลักษณ์ orthonormalเช่นเมทริกซ์การหมุน ในท้ายที่สุดคุณจะต้องแยกย่อยผลลัพธ์เพื่อหาว่าเป็นบวกแน่นอนหรือไม่ การแสดงความสมมาตรนั้นง่ายกว่า$\mathbf B$

จากนั้นคำถามก็จะกลายเป็นNเมทริกซ์เชิงมิติ บางทีคุณอาจคิดแบบอุปนัยซึ่งN-1 x N-1ถือว่าเป็นจริงแล้วสร้างเมทริกซ์บล็อกใหม่ที่มีขนาดโดยรวมN x Nเพื่อพิสูจน์ว่าเป็นบวกแน่นอนและสมมาตร

ดังนั้นคำถามสุดท้ายที่ซอฟท์แวร์นั้นเหมาะกับงาน (ถ้ามี) ประสบการณ์ของฉันก็อยู่กับMATLAB/MuPadและDerive(ยังใช้งานได้) และทั้งคู่ก็ไม่ได้จัดการเวกเตอร์และเมทริกซ์ได้ดีมาก MATLABแยกทุกอย่างลงในส่วนประกอบและDeriveสามารถประกาศได้Non-scalarsแต่ไม่ได้ใช้กฎการทำให้เข้าใจง่ายใด ๆ กับพวกเขา

ฉันหวังว่าการโพสต์นี้จะให้ข้อมูลเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับ "หลุม" ประเภทนี้และวิธีเติมให้เต็ม สำหรับฉันฉันต้องการซอฟต์แวร์ที่สามารถช่วยฉันลดความรู้สึกของการแสดงออกหลายจุดและครอสโปรดัคต์ของเวกเตอร์พร้อมกับเมทริกซ์การหมุนใช้ตัวตนที่รู้จักกันดีเช่น:$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec b)\vec c - (\vec a \cdot \vec c) \vec b$

เป็นเวลานานแล้วที่ฉันใช้แพคเกจเหล่านี้ครั้งล่าสุด แต่ฉันคิดว่าคุณสามารถทำได้ในภาษาเช่น Mathematica ผ่านการใช้การยืนยัน บางอย่างเช่น Assert [A, Symmetric] บอก Mathematica ว่า A เป็นเมทริกซ์สมมาตรและอื่น ๆ ฉันไม่สามารถเข้าถึงทั้งสองอย่างได้ในขณะนี้ดังนั้นนี่คือสิ่งที่จะต้องตรวจสอบ

Maple 15 ไม่สามารถทำได้ มันไม่มีคุณสมบัติ "Orthogonal" สำหรับเมทริกซ์ (แม้ว่ามันจะมี Symmetric และ PositiveDefinite)

ใน Mathematica อย่างน้อยคุณสามารถตรวจสอบคุณสมบัติเหล่านี้สำหรับการฝึกอบรมเฉพาะ ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์Aตามที่คุณอธิบาย:

In[1]:= A = {{2.0,-1.0,0.0},{-1.0,2.0,-1.0},{0.0,-1.0,2.0}};
        {SymmetricMatrixQ[A],PositiveDefiniteMatrixQ[A]}
Out[2]= {True,True}

สำหรับเมทริกซ์B:

In[3]:= B = {{0, -0.80, -0.60}, {0.80, -0.36, 0.48}, {0.60, 0.48, -0.64}};
        Transpose[B] == Inverse[B]
Out[4]= True

แล้ว:

In[5]:= c = B.A.Transpose[B];
        {SymmetricMatrixQ[c],PositiveDefiniteMatrixQ[c]}
Out[6]= {True,True}

เมทริกซ์เชิงคณิตศาสตร์และเอกสารพีชคณิตเชิงเส้น