“ เทคนิคปัจจัยร่วม” ในการแปลงเมทริกซ์มีความสำคัญในทางปฏิบัติหรือไม่?

ชื่อเป็นคำถาม เทคนิคนี้เกี่ยวข้องกับการใช้ "เมทริกซ์ของแฟคเตอร์" หรือ "adjugate เมทริกซ์" และให้สูตรที่ชัดเจนสำหรับส่วนประกอบของค่าผกผันของเมทริกซ์จตุรัส มันไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะทำด้วยมือสำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่กว่าการพูดที่ $3\times 3$ 3สำหรับ $n\times n$ เมทริกซ์จะต้องมีการคำนวณปัจจัยของเมทริกซ์ของตัวเองและการคำนวณ $n^2$ ปัจจัยของ $(n-1)\times(n-1)$ การฝึกอบรม ดังนั้นฉันเดาว่ามันไม่ได้มีประโยชน์สำหรับแอปพลิเคชัน แต่ฉันต้องการการยืนยัน

ฉันไม่ได้ถามเกี่ยวกับความสำคัญทางทฤษฎีของเทคนิคในการพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเมทริกซ์

linear-algebra matrix complexity

— สเตฟานสมิ ธ
แหล่งที่มา

คำตอบ:

คุณพูดถูก - มันไม่มีความเกี่ยวข้องใด ๆ กับการคำนวณ แม้ว่าการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์คือการดำเนินการความซับซ้อนของวิธีการจะเป็นอย่างน้อยและดังนั้นจึงมีความซับซ้อนเช่นเดียวกับการกำจัดแบบเกาส์เซียน ในทางปฏิบัติการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นมีความซับซ้อนแบบเอกซ์โปเนนเชียลทำให้วิธีนี้ใช้ไม่ได้อย่างสมบูรณ์ $O(n)$ $O(n^3)$

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

O (n!)

$O(n!)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n!)

$O(n!)$

det (A B) = det (A) det (B)

$\det(\mathbf A\mathbf B)=\det(\mathbf A)\det(\mathbf B)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

ใช่คุณถูกต้อง - ดีเทอร์มิแนนต์สามารถคำนวณได้ด้วยค่าใช้จ่ายของการย่อยสลาย(วิธีที่ไร้เดียงสาที่แสดงในหนังสือเรียนที่ใช้การขยายซ้ำเกิดขึ้นแบบเอกซ์โปเนนเชียลใน - the complex ที่ Paul พูดถึง) แต่นั่นก็ยังให้ความซับซ้อนโดยรวมของสำหรับอัลกอริธึมที่เสนอ - มากกว่าการกำจัดแบบเกาส์เซียนหากต้องใช้มันและมากกว่าตัวแก้ซ้ำ ๆ

L U

$LU$

n

$n$

n!

$n!$

O (n^{5})

$O(n^5)$

— Wolfgang Bangerth

แก้ไข. การลดแถวเป็นครึ่งหนึ่งของการคำนวณการสลายตัวมันลดถึงปัจจัยอีกครึ่งหนึ่งของงานกำลังดำเนินการแบบเดียวกันโดยเริ่มจากเมทริกซ์เอกลักษณ์ทำให้เกิดเมทริกซ์เป็นความจริงที่คุณสามารถหลีกเลี่ยงสิ่งหลังหากสิ่งที่คุณใส่ใจคือดีเทอร์มีแนนต์

L U

$LU$

A

$A$

U

$U$

L

$L$

— Wolfgang Bangerth

ฉันจะต่อต้านฝูงชน - adjugate matrix นั้นมีประโยชน์มากสำหรับแอปพลิเคชันพิเศษที่มีขนาดเล็ก (เช่นสี่หรือน้อยกว่า) โดยเฉพาะเมื่อคุณต้องการอินเวอร์สของเมทริกซ์ แต่ไม่สนใจขนาด

ตัวอย่างที่สอง ได้แก่ การคำนวณผกผันhomographyและเรย์ลีเชาวน์ซ้ำสำหรับปัญหาที่มีขนาดเล็กมาก (ซึ่งนอกจากจะเป็นที่ง่ายโดยใช้ adjugate เป็นตัวเลขที่ดีกว่า)

— nonbasketless
แหล่งที่มา

ฉันเห็นด้วยอย่างเต็มที่มีบางกรณี (โดยทั่วไปกับเมทริกซ์ขนาดเล็ก) ซึ่งช่วยได้มาก! (ตัวอย่างเช่นสำหรับการคำนวณพิกัด barycentric ในซิม

— เพล็ก