ดันเป็นตัวคูณลากรองจ์

ในสมการเนเวียร์ - สโตกส์ที่ไม่สามารถบีบอัดได้ แรงกดดันมักเรียกกันว่าตัวคูณลากรองจ์บังคับให้ เงื่อนไขการบีบอัด

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$

นี่เป็นความจริงในแง่ใด มีสูตรของสมการเนเวียร์ - สโตกที่ไม่สามารถบีบอัดได้ซึ่งเป็นปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดภายใต้ข้อ จำกัด ของ ถ้าเป็นเช่นนั้นมีตัวเลขแบบอะนาล็อกที่สมการการไหลของของไหลที่อัดไม่ได้ถูกแก้ไขภายในกรอบการหาค่าเหมาะที่สุดหรือไม่?

— เบน
แหล่งที่มา

นี่คือสิ่งที่เห็นได้ง่ายที่สุดโดยพิจารณาจากสมการสโตคส์นิ่ง ซึ่งเท่ากับปัญหา หากคุณเขียน Lagrangian และเงื่อนไขการปรับให้เหมาะสมของปัญหาการปรับให้เหมาะสมนี้คุณจะพบว่าแรงกดดันคือตัวคูณ Lagrange

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

ความเท่าเทียมกันระหว่างปัญหานี้ไม่ได้ใช้ประโยชน์ในรูปแบบตัวเลขใด ๆ (ที่ฉันรู้) แต่มันก็เป็นเครื่องมือสำคัญในการวิเคราะห์เพราะมันแสดงให้เห็นว่าสมการสโตกส์เป็นสมการปัวซองในสเปซเชิงเส้น สิ่งเดียวกันถือเป็นจริงสำหรับสมการสโตกส์ที่ขึ้นอยู่กับเวลา (ซึ่งสอดคล้องกับสมการความร้อนบนสเปซย่อย) และสามารถขยายไปยังสมการเนเวียร์สโตกส์ได้

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ดี คุณรู้หรือไม่ว่าสูตรนี้สามารถขยายไปยังกรณีขึ้นอยู่กับเวลาได้หรือไม่?

— Ben

ใช่อย่างที่ฉันบอกว่ามันจะนำไปสู่สมการความร้อนบนสเปซของฟังก์ชั่นอิสระที่แตกต่าง

— Wolfgang Bangerth

ขออภัยฉันควรชัดเจนขึ้น มีวิธีที่จะสร้างสมการสโตกส์ขึ้นกับเวลาใหม่ (หรือสมการเนเวียร์สโตกส์) ว่าเป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมหรือไม่

— Ben

ไม่เป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสม - การแก้สมการความร้อนไม่ได้ลดสิ่งใด (แม้ว่าจะเป็นจุดที่คงที่ของฟังก์ชั่นลากรองจ์) แต่คุณสามารถกำหนดสมการสโตกส์ดังนี้: ค้นหาดังนั้นสำหรับทั้งหมดภายใต้ข้อ จำกัด ที่0 โปรดทราบว่าฉันได้เลือกพื้นที่ทดสอบที่เล็กกว่าพื้นที่ทดลองดังนั้นด้านซ้ายและขวาของสมการตัวแปรจะไม่เท่ากัน ความแตกต่างคือความดัน

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth