ความแตกต่างระหว่าง FEM โดยนัยและ FEM ชัดเจนคืออะไร

10

ความแตกต่างระหว่าง FEM อย่างชัดเจนและ FEM โดยนัยคืออะไร? จากการโพสต์ที่นี่ดูเหมือนว่าความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการใช้การรวมเวลาโดยนัยหรือชัดเจน

ในขณะที่ฉันจำได้จากหนังสือเล่มหนึ่งที่ฉันอ่าน FEM โดยปริยายคือที่ ๆ ไม่มีมวลก้อนปมไปยังโหนด

คำจำกัดความที่แน่นอนของ FEM อย่างชัดเจนและโดยนัยคืออะไร?

finite-element implicit-methods explicit-methods

— เฟยจู้
แหล่งที่มา

7

วิธี FEM สำหรับปัญหาชั่วคราวมักจะใช้วิธีการของเส้นคือการแยกเชิงพื้นที่คือ decoupled จาก discretization เวลา: โดยที่เป็นเวกเตอร์ของปริมาณปมสันนิษฐานว่าเป็นหน้าที่ของเวลาที่ไม่รู้จัก ภายใต้สมมติฐานนี้ PDE ของ space-time ในจะถูกลดลง (discretized) เป็น ODE ในเพียงอย่างเดียวโดยใช้เครื่องจักร FEM ปกติสำหรับปัญหาคงที่

u^{h} (x, t) = Φ (x)^{T} U (t)

$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$

U (t)

$\mathbf{U}(t)$

(x, t)

$(x,t)$

t

$t$

ดังที่ได้กล่าวแล้วโดยคำตอบอื่น ๆ เราพูดถึง FEM อย่างชัดเจนหรือโดยปริยายโดยอ้างอิงถึงรูปแบบการรวมเวลาของ ODE เหล่านี้

ด้วยการอ้างอิงถึงปัญหากลศาสตร์ต่อเนื่อง (โดยไม่ทำให้หมาด ๆ ) เราก็จบลงด้วยระบบของ ODE เช่น start โดยที่และเป็นแรงเทียบเท่าภายในและภายนอกที่สำคัญ สำหรับปัญหาเชิงเส้น(t)

M \ddot{ยู} (เสื้อ) + F_{ผม} (ยู (เสื้อ)) = F_{อี} (เสื้อ)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i}

$\mathbf{F}_\text{i}$

F_{e}

$\mathbf{F}_\text{e}$

F_{i} (t) = K U (t)

$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

เมื่อมีความเสี่ยงที่จะเกิดความสับสนง่ายเกินไปให้เราสมมติว่าในรูปแบบที่ชัดเจนคุณเพียงแค่ต้องแก้หา ซึ่งเป็น เล็กน้อยถ้าเมทริกซ์ของมวลถูกทำให้เป็นก้อน ในทางตรงกันข้ามในวิธีการโดยนัยที่คุณจะต้องแก้ปัญหา (ไม่ใช่) -linear สม{ข} $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

M \ddot{ยู} (เสื้อ) = - F_{ผม} (ยู (เสื้อ)) + F_{อี} (เสื้อ)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i} (U (t)) = b

$\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

ในการตอบคำถามของคุณอย่างเต็มที่: ชัดแจ้ง / โดยนัยหมายถึงการแก้ปัญหาของระบบ ODE ไม่ใช่ลักษณะของเมทริกซ์มวล แน่นอนทุกการใช้งานที่เหมาะสมของโครงการอย่างชัดเจนต้องเมทริกซ์มวลที่จะล้างโลกมิฉะนั้นข้อดีของวิธีการที่จะหายไปในการแก้ปัญหาสำหรับ(t) ในทางตรงกันข้ามสำหรับรูปแบบโดยปริยายคุณสามารถมีเมทริกซ์มวลที่สม่ำเสมอและสม่ำเสมอ $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

— Stefano M
แหล่งที่มา

7

ใช่เป็นการรวมเวลา แต่ก็หมายความว่า:

คุณต้องแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นของประเภท Ax = b ในรูปแบบโดยปริยายซึ่งในรูปแบบที่ชัดเจนที่คุณทำไม่ได้เนื่องจากเมทริกซ์มวล lumped มีเพียงรายการในแนวทแยงดังนั้น inv (M) เป็นเรื่องเล็กน้อย
ขั้นตอนเวลาของคุณในรูปแบบที่ชัดเจนถูก จำกัด โดยเกณฑ์ CFL เพื่อความมั่นคง แบบแผนโดยนัยมีความเสถียรแบบไม่มีเงื่อนไข (แม้ว่าในทางปฏิบัติคุณยังต้องใช้ขั้นตอนเวลาที่เหมาะสมสำหรับความแม่นยำ)

โดยทั่วไปแล้วปัญหาที่ผลกระทบเฉื่อยมีความสำคัญ (เช่นการแพร่กระจายคลื่น) ได้รับการแก้ไขโดยแผนการที่ชัดเจนซึ่งเป็นปัญหาเสมือนกึ่งคงที่มักจะใช้รูปแบบโดยนัย อย่างไรก็ตามมีข้อยกเว้น

— STALI
แหล่งที่มา

ในรูปแบบโดยปริยายไม่เพียง แต่ระบบเชิงเส้นของสมการที่เกิดขึ้น แต่ (ตัวอย่างเช่นในการสร้างแบบจำลองของไหล) ระบบที่ไม่ใช่เชิงเส้นของสมการที่เกิดขึ้นจะได้รับ

— Misery

5

คำว่า "ชัดเจน" และ "นัย" เกิดขึ้นในช่วงเวลาของการลดทอนและข้อตกลงเหล่านี้ถูกนำไปใช้ในงานวรรณกรรมในสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (กล่าวคือพวกมันไม่เจาะจงวิธีระเบียบองค์ประกอบ จำกัด ) มันจะคุ้มค่าที่จะดูหนังสือที่พูดถึงวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของ ODE เช่น Hairer & Wanner

— Wolfgang Bangerth
แหล่งที่มา