การทดสอบว่าเมทริกซ์ 12x12 สองตัวมีค่าเดียวกัน

$12 \times 12$ $Q$

det (Q) = det (12 I - Q - J) (1)

$\det(Q) = \det(12I-Q-J) \; \; (1)$

J

$J$

ฉันกำลังทำสิ่งนี้กับห้องสมุดตัวนิ่มแต่มันกลับช้าไปหน่อย สิ่งที่ฉันต้องทำคือทำล้านล้านเมทริกซ์และปรากฎว่าการคำนวณสองปัจจัยคือคอขวดของโปรแกรมของฉัน ดังนั้นฉันมีสองคำถาม

มีเคล็ดลับใดบ้างที่ฉันสามารถใช้เพื่อคำนวณดีเทอร์แนนต์ได้เร็วขึ้นเมื่อฉันรู้ขนาดของมัน? อาจเป็นการขยายตัวที่ยุ่งเหยิงสำหรับเมทริกซ์ $12 \times12$ ที่สามารถทำงานได้ในกรณีนี้?
มีวิธีอื่นที่มีประสิทธิภาพในการทดสอบความเท่าเทียมกันหรือไม่ $(1)$

แก้ไข เพื่อตอบความคิดเห็น ฉันจำเป็นต้องคำนวณกราฟที่ไม่เกี่ยวข้องกับตัวเองที่เชื่อมต่อทั้งหมด $G$ ของคำสั่ง $13$ เช่น $G$ และ $\overline{G}$ มีจำนวนของต้นไม้ทอด แรงจูงใจสำหรับสิ่งนี้สามารถพบได้ในโพสต์mathoverflowนี้ สำหรับเครื่องฉันใช้งานเครื่อง 8 คอร์ 3.4GHh พร้อมกัน

แก้ไข ฉันสามารถลดเวลาทำงานที่คาดไว้ได้ถึง 50% โดยการทำโปรแกรม C เพื่อคำนวณปัจจัยเฉพาะของ $12 \times 12$ เมทริกซ์ ข้อเสนอแนะยังคงยินดีต้อนรับ

— Jernej
แหล่งที่มา

ช้าแค่ไหนช้าเกินไป? ใช้เวลานานแค่ไหนกับฮาร์ดแวร์อะไร? ล้านล้านของเหล่านี้เป็นอิสระเพื่อให้คุณสามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เหล่านี้หลายตัวพร้อมกัน ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณสามารถใช้เครื่องจักรขนาดใหญ่ได้อย่างไร สิ่งที่นำไปสู่ปัญหานี้? คุณแน่ใจหรือว่าต้องการคำนวณปัจจัย

Q

$Q$

— Bill Barth

บ่อยแค่ไหน (สำหรับส่วนของกรณีใด) ปัจจัยที่เหมือนกัน / แตกต่างกันอย่างไร หากพวกเขาแตกต่างกันส่วนใหญ่อาจมีการทดสอบที่ถูกกว่าเพื่อตรวจสอบว่าพวกเขาอาจจะแตกต่างกันและคุณจะตรวจสอบว่าพวกเขาจะเหมือนกันเฉพาะในกรณีที่การทดสอบครั้งแรกล้มเหลว อีกวิธีหนึ่งหากพวกเขาเกือบตลอดเวลา

— Wolfgang Bangerth

ดังที่ได้ถามไปแล้ว: คุณสามารถให้รายละเอียดว่ามาจากไหน? อาจมีวิธีการที่ดีกว่าการคำนวณปัจจัยแบบสุ่มสี่สุ่มห้า

Q

$\mathbf Q$

— JM

ความคิดที่ว่าเงื่อนไขนี้จะต้องมีการทดสอบ "สำหรับการฝึกอบรม 1 ล้านล้าน" แนะนำ 1) ว่าเป็นที่รู้จักกันว่า apriori มีโครงสร้างพิเศษบางอย่าง อาจเป็นการระบุลักษณะการฝึกอบรมทั้งหมดด้วยคุณสมบัตินี้ (ด้วยสูตรที่ตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ)

Q

$Q$

Q

$Q$

— hardmath

@hardmath ใช่เป็นเมทริกซ์จำนวนเต็มที่มีรายการแนวทแยงมุมตั้งแต่ถึงและเป็นองค์ประกอบแนวทแยง

Q

$Q$

1

$1$

12

$12$

- 1

$-1$

— Jernej

คำตอบ:

เมื่อคุณกำลังอยู่แล้วโดยใช้ C ++ และการฝึกอบรมของคุณสมมาตรบวกแน่นอนผมจะดำเนินการ unpivotedตัวประกอบของและยัง12I-QJที่นี่ฉันสันนิษฐานว่าเป็นบวกแน่นอนมิฉะนั้นจะต้องมีการหมุนเพื่อความมั่นคงของตัวเลข (อาจเป็นไปได้ว่าแม้ว่ามันจะไม่แน่นอนแน่นอนไม่จำเป็นต้องหมุน แต่คุณต้องลอง) $LDL^T$ $Q$ $12I-Q-J$ $12I-Q-J$ $LDL^T$

นี่เร็วกว่าการแยกตัวประกอบ LU และเร็วกว่า Cholesky เพราะหลีกเลี่ยงการรากที่สอง ดีเทอร์มิแนนต์เป็นผลคูณขององค์ประกอบของเมทริกซ์แนวทแยง รหัสที่จะดำเนินการแยกตัวประกอบ LDL จึงเป็นเรื่องง่ายๆที่คุณสามารถเขียนมันในเวลาน้อยกว่า 50 สายของซีหน้าวิกิพีเดียที่มันอธิบายขั้นตอนวิธีและฉันมีบางอย่างง่าย templated รหัสที่จะทำ Cholesky ที่นี่ คุณสามารถทำให้มันง่ายขึ้นอย่างมากและแก้ไขมันเพื่อหลีกเลี่ยงสแควร์รูทที่จะใช้การแยกตัวประกอบแบบ $D$ $LDL^T$

เนื่องจากคุณสามารถควบคุมรูปแบบการจัดเก็บคุณสามารถเพิ่มประสิทธิภาพขั้นตอนการจัดเก็บเมทริกซ์เพียงครึ่งเดียวและแพ็คมันในอาร์เรย์เชิงเส้นเพื่อเพิ่มตำแหน่งหน่วยความจำให้สูงสุด ฉันจะเขียนจุดผลิตภัณฑ์แบบกำหนดเองอย่างง่ายและรูทีนการอัพเดทอันดับ 1 เนื่องจากขนาดของปัญหามีขนาดเล็กคุณควรให้คอมไพเลอร์อินไลน์รูทีนเพื่อลดค่าใช้จ่ายในการโทร เนื่องจากมันเป็นวงขนาดคงที่คอมไพเลอร์ควรจะสามารถอินไลน์โดยอัตโนมัติและปล่อยสิ่งต่าง ๆ ตามความเหมาะสม

ฉันจะหลีกเลี่ยงการพยายามเล่นกลเพื่อใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่ามีอยู่ในนิพจน์ เป็นไปได้ว่าสำหรับปัญหาที่มีขนาดเล็กเช่นนี้เทคนิคเหล่านี้จะช้ากว่าการคำนวณปัจจัยแยกสองตัว แน่นอนวิธีเดียวที่จะตรวจสอบการอ้างสิทธิ์เหล่านี้คือลองใช้ $12I-Q-J$ $Q$

— วิกเตอร์หลิว
แหล่งที่มา

ฉันสองข้อเสนอแนะของการดำเนินการ , aka Cholesky ปราศจากรูตเนื่องจากอาร์มาดิลโล่ดูเหมือนจะไม่มีวิธีการใช้ประโยชน์จากการปกครองในเชิงบวก / เชิงเส้นทแยงมุม

L D L^{T}

$LDL^T$

— hardmath

หากไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับการสร้างเมทริกซ์สมมาตรจริงที่เป็นบวกแน่นอนนี้ข้อเสนอแนะที่จำเป็นต้องทำมีความ จำกัด อย่างเป็นธรรม $12\times 12$

ฉันดาวน์โหลดแพคเกจ Armadillo จาก Sourceforge และดูเอกสารประกอบ พยายามที่จะปรับปรุงประสิทธิภาพการทำงานของคอมพิวเตอร์แยกและที่เป็นอันดับหนึ่งเมทริกซ์ของทุกคนโดยการตั้งค่าเช่น หมายเหตุเอกสารที่ว่านี้เป็นค่าเริ่มต้นสำหรับการฝึกอบรมได้สูงสุดขนาดเพื่อโดยละเลยผมถือว่าเป็นตัวเลือกเริ่มต้นสำหรับที่กรณี $\det(Q)$ $\det(12I - Q - J)$ $J$ det(Q,slow=false) $4\times 4$ slow=true $12\times 12$

สิ่งที่slow=true น่าจะเป็นไปได้คือการหมุนเป็นบางส่วนหรือทั้งหมดในรูปแบบระดับแถวซึ่งพบได้ง่าย อย่างไรก็ตามคุณรู้ล่วงหน้าว่าเมทริกซ์นั้นเป็นค่าบวกดังนั้นการหมุนไม่จำเป็นสำหรับความเสถียร (อย่างน้อยสันนิษฐานสำหรับการคำนวณจำนวนมากของคุณมันไม่ชัดเจนว่าแพ็คเกจอาร์มาดิลโลเกิดข้อยกเว้นถ้าปิวิตกลายเป็นขนาดเล็กเกินไป คุณลักษณะของแพคเกจพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขที่สมเหตุสมผลแก้ไข:ฉันพบโค้ดอาร์มาดิลโลที่ใช้ในไฟล์ส่วนหัวโดยใช้เทมเพลต C ++ สำหรับการใช้งานที่สำคัญการตั้งค่าไม่ปรากฏว่าส่งผลต่อ $Q$ detinclude\armadillo_bits\auxlib_meat.hppslow=false $12\times 12$ ปัจจัยจะต้องทำเพราะการคำนวณได้รับ "โยนข้ามกำแพง" ถึง LAPACK (หรือ ATLAS) ณ จุดนั้นโดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าไม่จำเป็นต้องหมุนเหวี่ยง; ดูdet_lapackและเรียกใช้ในไฟล์นั้น

อีกจุดหนึ่งก็คือการปฏิบัติตามคำแนะนำในการสร้างแพ็คเกจอาร์มาดิลโล่ที่เชื่อมโยงกับการเปลี่ยนความเร็วสูงสำหรับ BLAS และ LAPACK หากคุณใช้งานจริง เห็นวินาที 5 ของไฟล์ Armadillo README.TXT สำหรับรายละเอียด [แนะนำให้ใช้ BLAS หรือ LAPACK รุ่น 64 บิตเฉพาะสำหรับความเร็วบนเครื่อง 64 บิตปัจจุบัน]

ลดแถวลงในฟอร์มระดับคือกำจัดแบบเกาส์เป็นหลักและมีความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์2) สำหรับทั้งการฝึกอบรมนี้แล้วจำนวนสองเท่าของที่ทำงานหรือ2) ดำเนินการเหล่านี้อาจจะเป็น "คอขวด" ในการประมวลผลของคุณ แต่มีความหวังเล็ก ๆ น้อย ๆ ว่าไม่มีโครงสร้างพิเศษใน (หรือบางความสัมพันธ์ที่รู้จักกันในหมู่กรณีทดสอบล้านล้านช่วยให้ค่าตัดจำหน่าย) การทำงานที่อาจจะลดลงไป2) $\frac{2}{3} n^3 + O(n^2)$ $\frac{4}{3} n^3 + O(n^2)$ $Q$ $O(n^2)$

สำหรับการเปรียบเทียบการขยายตัวโดยปัจจัยร่วมของเมทริกซ์ทั่วไปเกี่ยวข้องกับการดำเนินการคูณ (และเพิ่ม / ลบจำนวนมาก) ดังนั้นสำหรับการเปรียบเทียบ (เทียบกับ ) สนับสนุนการกำจัดปัจจัยร่วมอย่างชัดเจน $n\times n$ $n!$ $n=12$ $12! = 479001600$ $\frac{2}{3} n^3 = 1152$

อีกวิธีหนึ่งที่ต้องการงานจะลดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้วยการเปลี่ยน Householder ซึ่งทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยม คอมพิวเตอร์และสามารถหลังจากนั้นจะทำในการดำเนินงาน [ผลกระทบของการอัปเดตอันดับหนึ่งในดีเทอร์มิแนนต์ที่สองสามารถแสดงเป็นปัจจัยสเกลาร์ที่ได้รับจากการแก้ระบบหนึ่งระบบสามทาง] $\frac{4}{3} n^3 + O(n^2)$ $Q$ $12I - Q$ $\det(Q)$ $\det(12I - Q - J)$ $O(n)$ $-J$

การใช้การคำนวณแบบอิสระอาจคุ้มค่ากับการตรวจสอบผลลัพธ์ของการโทรที่ประสบความสำเร็จ (หรือล้มเหลว) ไปยังdetฟังก์ชันของ Armadillo

กรณีพิเศษ: ตามคำแนะนำของความคิดเห็นของ Jernej สมมติว่าโดยที่เหมือนเดิมคือเมทริกซ์ (อันดับ 1) ของทุกคนและคือ เมทริกซ์ทแยงมุมแบบไม่มีขอบ (บวก) อันที่จริงสำหรับการประยุกต์ใช้ที่เสนอในทฤษฎีกราฟสิ่งเหล่านี้จะเป็นเมทริกซ์จำนวนเต็ม ดังนั้นสูตรที่ชัดเจนสำหรับคือ: $Q = D - J$ $J$ $D=\text{diag}(d_1,\ldots,d_n)$ $\det(Q)$

det (Q) = (\prod_{i = 1}^{n} d_{i}) (1 - \sum_{i = 1}^{n} d_{i}^{- 1})

$\det(Q) = \left(\prod_{i=1}^n d_i \right)\left(1 - \sum_{i=1}^n d_i^{-1} \right)$

ภาพร่างของการพิสูจน์กำบังโอกาสที่จะแสดงให้เห็นถึงการบังคับใช้ที่กว้างขึ้นเช่นเมื่อใดก็ตามที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่รู้จักและระบบได้รับการแก้ไขอย่างรวดเร็ว เริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบ: $D$ $Dv = (1\ldots 1)^T$

det (D - J) = det (D) \cdot det (I - D^{- 1} J)

$\det(D - J) = \det(D) \cdot \det(I - D^{-1}J)$

ตอนนี้เป็นอีกครั้งที่อันดับ 1 คือ1) โปรดทราบว่าปัจจัยที่สองคือ: $D^{-1}J$ $(d_1^{-1}\ldots d_n^{-1})^T(1\ldots 1)$

f (1) = det (I - D^{- 1} J)

$f(1) = \det(I- D^{-1}J)$

ที่เป็นพหุนามลักษณะของ J ในฐานะที่เป็นอันดับ 1 เมทริกซ์จะต้องมี (อย่างน้อย) ปัจจัยของเพื่อพิจารณาว่าเป็น nullspace ค่าลักษณะเฉพาะ "ที่หายไป" คือซึ่งอาจเห็นได้จากการคำนวณ: $f(x)$ $D^{-1}J$ $f(x)$ $n-1$ $x$ $\sum d_i^{-1}$

D^{- 1} J (d_{1}^{- 1} \dots d_{n}^{- 1})^{T} = (\sum d_{i}^{- 1}) (d_{1}^{- 1} \dots d_{n}^{- 1})^{T}

$D^{-1}J\; (d_1^{-1}\ldots d_n^{-1})^T = \left(\sum d_i^{-1} \right) (d_1^{-1}\ldots d_n^{-1})^T$

มันตามมาว่าพหุนามลักษณะ , และดังที่แสดงไว้ข้างต้นสำหรับ ,1} $f(x) = x^{n-1} (x - \sum d_i^{-1})$ $f(1)$ $\det(I - D^{-1}J)$ $1 - \sum d_i^{-1}$

โปรดทราบว่าถ้าดังนั้นเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นผลคูณของรายการในแนวทแยง $Q = D-J$ $12I - Q - J = 12I - D + J - J = 12I - D$

— hardmath
แหล่งที่มา

หืมมม ..ในความเป็นจริงที่เป็นเมทริกซ์ถ้อยคำของดังนั้นผมจึงคิดว่าผลนี้อาจไม่ถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันจะบอกเป็นนัยว่าจำนวนของต้นไม้ที่ทอดของกราฟถูกกำหนดโดยลำดับการศึกษาระดับปริญญาของมันซึ่งไม่ได้ถือ

Q

$Q$

D - A

$D-A$

A

$A$

G

$G$

G

$G$

— Jernej

รายการนอกแนวทแยงมุมของโดยทั่วไปแล้วจะมี 0 เช่นเดียวกับ -1 สลายตัวแนะนำโดยวิคเตอร์จะใช้ประโยชน์จากความสมมาตรและลดระยะชั้นนำในการดำเนินงานนับจากเพื่อ 3 มีวิธีการจำนวนเต็มอย่างแน่นอน แต่อาจไม่จำเป็นสำหรับเมทริกซ์ขนาดและรายการที่เหมาะสม ถ้าฉันเข้าใจการก่อสร้างเป็นบวกแน่นอนด้วยเหตุผลเดียวกันคือ

Q

$Q$

L D L^{T}

$LDL^T$

\frac{2}{3} n^{3}

$\frac{2}{3}n^3$

\frac{1}{3} n^{3}

$\frac{1}{3}n^3$

12 I - Q - J

$12I-Q-J$

Q

$Q$

— hardmath

@Jernej: หากคุณเชื่อว่าสิ่งที่ฉันระบุไม่ถูกต้องฉันได้สร้างห้องแชทตามคำถามนี้ซึ่งสามารถสนทนาได้โดยไม่ต้องแสดงความคิดเห็นที่ไม่จำเป็นที่นี่

— hardmath

หากคุณมีวิธีการจัดโครงสร้างกราฟที่คุณต้องการคำนวณดีเทอร์มินัลคุณอาจพบการอัปเดตระดับต่ำซึ่งโอนคุณจากกราฟหนึ่งไปยังอีกกราฟหนึ่ง

ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณสามารถใช้เมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์ lemmaเพื่อคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของกราฟที่ตามมาที่จะนับโดยใช้ความรู้เกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์ของกราฟปัจจุบัน

นั่นคือสำหรับเมทริกซ์และเวกเตอร์ : นี่สามารถสรุปได้ถ้า U และ V เป็นเมทริกซ์และคือ : $A$ $u,v$

det (A + u v^{T}) = (1 + v^{T} A^{- 1} u) det (A)

$\det(A+uv^T)=(1+v^T A^{-1} u)\det(A)$

n \times m

$n \times m$

A

$A$

n \times n

$n \times n$

det (A + U V^{T}) = det (I_{m} + V^{T} A^{- 1} U) det (A)

$\det(A+UV^T)=\det(I_m + V^TA^{-1}U)\det(A)$

ในการคำนวณค่าผกผันอย่างมีประสิทธิภาพคุณสามารถใช้สูตร Sherman-Morrisonเพื่อให้ได้ค่าผกผันของเมทริกซ์ที่ตามมาจากปัจจุบัน:

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u}

$(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1+v^T A^{-1} u}$

— ริชาร์ด
แหล่งที่มา