Voronoi Tesselation และ Delaunay triangulation เป็นปัญหาคู่กันอย่างไร

ฉันได้รับการบอกเสมอว่าแผนภาพ Voronoi เป็นปัญหาคู่ของ Delaunay triangulation พวกเขาสามารถเป็นคู่ของกันและกันได้ในด้านใด ฉันคิดว่าปัญหาสองประการ (เช่นในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น) ควรจะให้คำตอบเดียวกัน เห็นได้ชัดว่าทั้งสองปัญหาไม่มีวิธีแก้ไขปัญหาเดียวกัน เราจะพิจารณาพวกเขาเป็นทวีคูณได้อย่างไร?

คำตอบง่ายๆก็คือพวกเขาเป็นสองเท่าเพราะสำหรับทุก delaunay triangulation มีอยู่เพียงหนึ่งเดียว voronoi tessellation และในทางกลับกัน ที่จริงสำหรับกรณีส่วนใหญ่ แต่มีกรณีที่มีการติดต่อไม่ได้เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ตัวอย่างเช่นในกรณีที่ voronoi tessellation เป็นตารางสี่เหลี่ยมปกติ

ทั้ง voronoi tessellation และ delaunay triangulation นั้นไม่สำคัญในการคำนวณสำหรับคะแนนที่กำหนด แต่เมื่อคุณพบอีกอันหนึ่งก็หาง่าย

ในชุดสามเหลี่ยมของ delaunay จุด , สามเหลี่ยมทั้งหมดเป็น "delaunay" ซึ่งหมายความว่าไม่มีจุดใดในวงกลมที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยมใด ๆ$P$

tessellation Voronoi สำหรับชุดของจุด, , ประกอบด้วยชุดของ Voronoi เซลล์Rเช่นว่าจุดในทุกR ฉันมีความใกล้ชิดกับP ฉันแล้วไปยังจุดอื่น ๆ ในP$P$$R$$R_i$$P_i$$P$

กำหนด delaunay triangulation เพียงแค่เชื่อมต่อสามเหลี่ยมที่อยู่ใกล้เคียงกับวงกลมรอบศูนย์กลาง

เมื่อกำหนดชุดของคะแนนและ voronoi tessellation เพียงเชื่อมจุดเซลล์ใกล้เคียง แน่นอนว่าเป็นเพราะคุณรู้ว่าชุดของจุดP ที่ใช้เมื่อสร้าง voronoi tessellation$P$$P$

เพียงเพื่อแสดงให้เห็นถึงสิ่งที่คนอื่นพูด: สีน้ำเงินด้านล่างเป็นแผนภาพ Voronoi สีแดงของการหาตำแหน่งแบบสามเหลี่ยมสองเดลอเนย์ พวกมันเป็นแบบคู่กันเป็นกราฟระนาบเรขาคณิต จากแผนภาพ Voronoi มันเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะได้รับสมการเดลอเนย์ ทิศทางกลับไม่ชัดเจนนัก แต่มันยังคงเป็นจริงที่จาก Delaunay triangulation และการคำนวณบางอย่างคุณสามารถคำนวณแผนภาพ Voronoi
          
ฉันคำนวณไดอะแกรมเหล่านี้สำหรับ 50 คะแนนแบบสุ่มใน Mathematica โดยใช้แพ็คเกจComputationalGeometry ดูลิงค์นี้สำหรับรหัสของฉัน

${\bf P}$${\bf G}$$G_i$$P_i$$P_j \in {\bf P}, j \neq i$${\bf P}$

ในแง่หนึ่งมันคล้ายกับความเป็นคู่ที่มีอยู่ระหว่างโปรยสามเหลี่ยมและหกเหลี่ยมในฟิสิกส์เชิงสถิติ จุดกึ่งกลางของเซลล์ในด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมตาข่ายเมื่อฟอร์มตาข่ายหกเหลี่ยมและเชื่อมต่อในทางกลับกัน

อย่างไรก็ตามมันควรจะชี้ให้เห็นว่าไม่ใช่ทั้งหมดของ Voronoi tessellations เป็นคู่ของ Delaunay triangulations; ความสัมพันธ์นี้อาจใช้ได้เฉพาะกับการทดสอบVoronoi ที่ไม่ถ่วง สำหรับวิธีการสอนแบบมีน้ำหนักซึ่งเป็นสิ่งที่นอกเหนือจากระยะทางแบบยุคลิดถูกใช้เพื่อกำหนดขอบ

หากต้องการอธิบายอย่างละเอียดเกี่ยวกับความคิดเห็นของเจฟฟ์: การหาสมการ Delaunay และไดอะแกรม Voronoi เป็น "วัตถุ" แทนที่จะเป็น "ปัญหา" ดังนั้นการพูดถึง "การแก้ปัญหา" จึงค่อนข้างน้อย

ความเป็นคู่อยู่ระหว่างการ tessalations และสมการ: ในการย้ายจากการหาสามเหลี่ยมไปสู่การแบ่งส่วนย่อย หากต้องการย้ายจาก Voronoi tesselation ไปยัง Delaunay triangulation คุณต้องเชื่อมต่อ "จุดกึ่งกลาง" ของสองเซลล์หากพวกมันแตะกัน

กราฟ Voronoi และ Delaunay ถูกเรียกว่า dual สำหรับคุณสมบัติกราฟ ดูกราฟคู่บนวิกิพีเดีย