วัตถุประสงค์ของการใช้การรวมโดยชิ้นส่วนในการทำให้รูปแบบที่อ่อนแอสำหรับ discretization FEM คืออะไร?

เมื่อไปจากรูปแบบที่แข็งแกร่งของ PDE ไปยังรูปแบบ FEM ดูเหมือนว่าเราควรทำสิ่งนี้เสมอโดยระบุรูปแบบความแปรปรวนเป็นครั้งแรก ในการทำเช่นนี้คุณจะคูณแบบฟอร์มที่แข็งแกร่งด้วยองค์ประกอบในพื้นที่ (Sobolev) และรวมเข้ากับภูมิภาคของคุณ ฉันยอมรับได้ สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคือเหตุผลว่าทำไมจึงต้องใช้สูตรของกรีน (หนึ่งหรือหลายครั้ง)

ฉันได้ทำงานกับสมการของปัวซงเป็นส่วนใหญ่ดังนั้นถ้าเราใช้มัน (กับเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet ที่เป็นเนื้อเดียวกัน) เป็นตัวอย่างเช่น

$$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$$

มันก็อ้างว่าวิธีที่ถูกต้องในรูปแบบรูปแบบความแปรปรวนคือ

$$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$$

แต่สิ่งที่ทำให้ฉันไม่สามารถใช้นิพจน์ในบรรทัดแรกนั่นคือรูปแบบแปรปรวนที่สามารถใช้ในการรับแบบฟอร์ม FEM ได้หรือไม่ มันจะไม่สอดคล้องกับบิลิแนร์และรูปแบบเชิงเส้นและ ? ปัญหาตรงนี้หรือไม่ถ้าฉันใช้ฟังก์ชั่นพื้นฐานเชิงเส้น (ฟังก์ชั่นรูปร่าง) แล้วฉันจะมีปัญหาเพราะเมทริกซ์ความแข็งของฉันจะเป็นเมทริกซ์โมฆะ (ไม่กลับด้าน) แต่ถ้าฉันใช้ฟังก์ชั่นรูปร่างที่ไม่ใช่เชิงเส้น ฉันยังต้องใช้สูตรของ Green หรือไม่? หากฉันไม่จำเป็นต้อง: แนะนำให้เลือก? ถ้าฉันไม่มีฉันจะมีสูตรที่หลากหลาย แต่ไม่อ่อนแอใช่หรือไม่l ( v ) = ( f , v $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$$l(v)=(f, v)$

ทีนี้สมมติว่าฉันมี PDE ที่มีอนุพันธ์ลำดับสูงกว่านั่นหมายความว่ามีรูปแบบการแปรปรวนที่เป็นไปได้มากมายขึ้นอยู่กับว่าฉันใช้สูตรของกรีนอย่างไร และพวกเขาทั้งหมดนำไปสู่การประมาณค่า FEM (ต่างกัน)

คำตอบสั้น ๆ :

ไม่คุณไม่จำเป็นต้องทำการผสานรวมสำหรับ FEM บางอย่าง แต่ในกรณีของคุณคุณต้องทำอย่างนั้น

---

คำตอบยาว:

• สมมุติว่าเป็นคำตอบแน่นอน ถ้าคุณเลือกพหุนามเชิงเส้นแบบเชิงเส้นเป็นพื้นฐานของคุณการเลือกบนมันจะให้การแจกแจงคำสั่ง 1 (คิดว่าการหาอนุพันธ์ในฟังก์ชันขั้นตอน Heaviside) และการรวมการคูณด้วยจะทำให้รู้สึกได้ก็ต่อเมื่อคุณถือเป็นคู่คู่แทนที่จะเป็นผลิตภัณฑ์ภายใน คุณจะไม่ได้รับเมทริกซ์เป็นโมฆะทฤษฎีบทการเป็นตัวแทน Riesz บอกว่ามีองค์ประกอบในสามารถความเป็นคู่โดยผลิตภัณฑ์ภายในได้ใน : Δ - Δ ยูเอช ∈ เอช- 1วีL 2 φ - Δ ยูเอช ∈ เอช1 0 H 1 ⟨ - Δ ยูเอช , วี⟩ H - 1 , H 1 0 = ∫ โอห์ม ∇ φ - Δ ยูเอช ⋅ ∇ วี⏟สินค้าด้านใน  H 1 คุณชั่วโมง$u_h$$\Delta$$-\Delta u_h\in H^{-1}$$v$$L^2$$\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$$H^1$

  $$\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$$ การบูรณาการโดยองค์ประกอบส่วนโดยองค์ประกอบสำหรับจะหลั่งน้ำตาแสงในคู่คู่นี้: สำหรับองค์ประกอบในการ triangulation นี้ สิ่งนี้บอกคุณว่าควรรวมองค์ประกอบระหว่าง ฟลักซ์กระโดดในการเป็นตัวแทนคู่คู่ของมันสังเกตเห็นการรวมในขอบเขตของแต่ละองค์ประกอบยังเป็นคู่คู่ระหว่างและ$u_h$$T$- Δ ยูเอชเอช1 / 2 H - 1 / 2 Δ ( Δ U , V $$\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$$ $-\Delta u_h$$H^{1/2}$$H^{-1/2}$. แม้ว่าคุณจะใช้กำลังสองซึ่งมีการไม่หายในแต่ละองค์ประกอบคุณยังคงไม่สามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ภายในเนื่องจากการปรากฏตัวของฟลักซ์องค์ประกอบระหว่างองค์ประกอบนี้$\Delta$$(\Delta u, v)$

• การบูรณาการตามส่วนต่าง ๆ สามารถย้อนกลับไปที่ทฤษฎี Sobolev สำหรับวงรีรูปไข่โดยใช้ฟังก์ชั่นที่ราบรื่นที่พื้นที่ทั้งหมดปิดการทำงานที่ราบรื่นภายใต้ประเภทหนึ่งของบรรทัดฐานสำคัญ จากนั้นผู้คนก็บอกว่าสิ่งที่เป็นระเบียบขั้นต่ำที่นี่คือสิ่งที่เราสามารถดำเนินการภายในผลิตภัณฑ์ นอกจากนี้ยังแบริ่งในใจว่าแก้ปัญหาความอ่อนแอ -regular ภายใต้เงื่อนไขบางอย่างเป็นการแก้ปัญหา -strong (ระเบียบรูปไข่) แต่พหุนามเชิงเส้นอย่างต่อเนื่องค่ไม่จากมุมมองนี้ก็ไม่ได้ทำให้ความรู้สึกใด ๆ ในการใช้ผลิตภัณฑ์ภายในโดยใช้อย่างใดอย่างหนึ่ง W k , p H 1 H 2 H 2 Δ u $W^{k,p}$$W^{k,p}$$H^1$$H^2$$H^2$$\Delta u_h$

• สำหรับ FEM บางตัวคุณไม่จำเป็นต้องรวมเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่นองค์ประกอบ จำกัด น้อยที่สุดกำลังสอง เขียนคำสั่ง pde ลำดับที่สองเป็นระบบการสั่งซื้อครั้งแรก: จากนั้นคุณต้องการลดฟังก์ชั่นสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้น้อยที่สุด: มีจิตวิญญาณเดียวกันกับ Ritz-Galerkin การทำงานการ จำกัด องค์ประกอบของการย่อเล็กสุดเหนือฟังก์ชันใน a พื้นที่องค์ประกอบ จำกัด ไม่จำเป็นต้องบูรณาการโดยชิ้นส่วน

  $$\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$$ $$\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$$

ไม่มีอะไรหยุดคุณจากการทำเช่นนั้นทางเทคนิค แต่เมื่อคุณรวมส่วนต่าง ๆ คุณจะได้รับความยืดหยุ่นมากขึ้นด้วยพื้นที่การแก้ปัญหาโดยที่พวกเขาไม่จำเป็นต้องมีมาตรฐาน (จำเป็นสำหรับสูตร IBP ที่ไม่ใช่) องค์ประกอบเชิงเส้นที่คุณแนะนำโดยทั่วไปจะมีผลบังคับใช้ต่อเนื่องระหว่างองค์ประกอบและจึงไม่อาจจะอยู่ใน 2 สูตร IBP เป็นสมมาตรซึ่งมีข้อดีของตัวเองเช่นกัน$H^2$$H^2$

คำตอบที่ยอดเยี่ยมอยู่แล้วในหน้านี้ แต่ก็ยังมีจุดเล็ก ๆ ที่ขาดหายไป

OP ถาม:

ทีนี้สมมติว่าฉันมี PDE ที่มีอนุพันธ์ลำดับสูงกว่านั่นหมายความว่ามีรูปแบบการแปรปรวนที่เป็นไปได้มากมายขึ้นอยู่กับว่าฉันใช้สูตรของกรีนอย่างไร และพวกเขาทั้งหมดนำไปสู่การประมาณค่า FEM (ต่างกัน)

การบูรณาการตามส่วนต่าง ๆ (ในวิธีที่ถูกต้อง ) มีความสำคัญเมื่อคุณมีเงื่อนไขขอบเขตชนิดนอยมันน์ อันที่จริงมันเป็นโดย ibp ที่คุณคำนึงถึง Neumann bc ในการกำหนดความแปรปรวนของคุณ รูปแบบของ Neumann bc ขึ้นอยู่กับว่าคุณรวมส่วนต่าง ๆ อย่างไร คำตอบนี้เกี่ยวกับการรวมโดยส่วนต่าง ๆ ในความยืดหยุ่นเชิงเส้น ดังนั้นสำหรับ PDE รูปไข่ลำดับที่สองของการรวมโดยชิ้นส่วนจะต้องดำเนินการในวิธีที่กำหนดเพื่อที่จะกู้คืนสูตรผันแปรที่ถูกต้องสำหรับฟอนนอยมันน์หรือเงื่อนไขขอบเขตผสม (และสิ่งนี้แน่นอนโดยไม่คำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าคุณเลิกใช้ FEM)

ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ที่ Neumann bc มีความหมายที่ชัดเจน (heat flux, stress ... ) การรวมกันของส่วนต่างๆมีความสำคัญเพื่อรักษาการตีความผลลัพธ์ที่ถูกต้อง แม้สำหรับเงื่อนไข Dirichlet ที่เป็นเนื้อเดียวกันและ FEM นี้ก็เป็นจริงเนื่องจากถ้าเราใช้วิธีการคูณแบบลากรองจ์เพื่อกำหนด bc ตัวทวีคูณจะกลายเป็นปริมาณทางกายภาพเช่นฟลักซ์เข้มข้นหรือแรง