FAS-multigrid ช้ากว่าการแก้ไขข้อบกพร่องเชิงเส้นหรือไม่

ฉันใช้ตัวแก้ไขมัลติ - กริด V-Cycle โดยใช้ทั้งการแก้ไขข้อบกพร่องเชิงเส้น (LDC) และโครงร่างการประมาณแบบเต็ม (FAS)

ปัญหาของฉันคือต่อไปนี้: การใช้ LDC ที่เหลือจะลดลงโดยปัจจัย ~ 0.03 ต่อรอบ การปรับใช้ FAS จะรวมเข้ากับปัจจัยเชิงเส้นด้วยเช่นกัน แต่ปัจจัยเพียง 0.58 เท่านั้น ดังนั้น FAS ต้องการประมาณ 20 เท่าของจำนวนรอบ

ส่วนใหญ่ของรหัสที่ใช้ร่วมกันความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการคำนวณขึ้น / ลง, LDC ใช้

ลง:$u_H:=0,\quad b_H:=I_h^H(b_h-L_hu_h)$

ขึ้น:$u_h:=u_h+I_H^hu_H$

และ FAS ใช้

ลง:$u_H:=I_h^Hu_h,\quad b_H:=I_h^Hb_h+L_HI_h^Hu_h-I_h^HL_hu_h$

ขึ้น:$u_h:=u_h+I_H^h(u_H-I_h^Hu_h)$

การตั้งค่าการทดสอบของฉันมาจาก "A Multigrid Tutorial, Second Edition" ของ Brigg 64 มีวิธีวิเคราะห์

$u(x,y)=(x^2-x^4)(y^4-y^2) \quad$กับ$x,y\in [0,1]^2$

และสมการก็คือใช้ทั่วไปเชิงเส้น 5 จุดลายฉลุเป็น Laplace-Operator Lเดาแรกคือ 0$Lv=\Delta u=:b$$L$$v=0$

การเปลี่ยนการตั้งค่าการทดสอบเช่นเป็นเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยโดยใช้การคาดเดาเริ่มต้นของส่งผลให้ปัจจัยการลู่เข้าเกือบเหมือนกัน$u(x,y)=0$$v=1$

เนื่องจากรหัสดาวน์ / อัพแตกต่างกันเท่านั้นผลลัพธ์ของ LDC ก็สอดคล้องกับหนังสือและ FAS อย่างน้อยก็ดูเหมือนว่าจะใช้ได้เช่นกันฉันจึงไม่คิดเลยว่าทำไมมันจึงช้ากว่ามากในการตั้งค่าแบบเชิงเส้นเดียวกัน

มีพฤติกรรมแปลก ๆ หนึ่งทั้งใน LDC และ FAS ที่ฉันไม่สามารถอธิบายได้เลยว่าจะเกิดขึ้นถ้าเดาเริ่มต้นที่ไม่ดี (เช่นแต่ยังอยู่ในการทดลอง multigrid ของฉันเต็มไปที่การแก้ไขไปยังตารางปรับใหม่เพิ่มที่เหลือจากถึง ): ถ้าฉันเพิ่มจำนวนการผ่อนคลายการแก้ไขภายหลังเป็นจำนวนที่สูงมากซึ่งวิธีแก้ปัญหาจะแก้ไขความแม่นยำของเครื่องจักรบนกริดหยาบมันจะสูญเสียตัวเลขเกือบทั้งหมดเมื่อขึ้นหนึ่งก้าว ไปที่กริดถัดไป$=0$$10^{-15}$$10^{-1}$

เนื่องจากรูปภาพพูดมากกว่าคำพูด:

// first cycle, levels 0-4
// DOWN
VCycle top 4, start               res_norm 3.676520e+02 // initial residual
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 3.676520e+02
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.520312e+02 // relaxed (2 iterations)
VCycle tau_norm 2.148001e+01 (DEBUG calculation)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 1.049619e+02 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 5.050392e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 3.518764e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.759372e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 1.234398e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 4.728777e+00 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 3.343750e+00 // restricted
// coarsest grid
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 0.000000e+00 // solved
// UP
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 3.738426e+00 // prolonged
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.509429e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 2.512148e-15 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 4.695979e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.469312e+02 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 9.172812e-24 // relaxed (many iterations)

ฉันไม่แน่ใจว่าจะมีเพียงไม่กี่หลักที่ได้รับต่อรอบหรือถ้านี่แสดงถึงข้อผิดพลาดในระหว่างการแก้ไขกับตารางที่ดี หากเป็นกรณีหลัง LDC จะสามารถบรรลุอัตราส่วนที่เหลือโดยการทำหนังสือได้เท่ากับ 0.03 เมื่อใช้การผ่อนคลาย 2 ครั้งเสมออย่างไร

ฉันไม่ทราบคำตอบของคุณโดยตรงเพราะฉันใช้ FAS เป็นหลักแทนการแก้ไขเนื่องจากฉันทำ multigrid สำหรับปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้น แต่บางความคิดที่คุณสามารถดูได้:

• คุณกำลังใช้รูปแบบการแก้ไขเชิงเส้นกับปัญหาเชิงเส้นดังนั้นจึงไม่น่าตกใจว่ามันทำได้ดีมาก

• พิจารณาเงื่อนไขขอบเขตของคุณ: ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณทำอย่างถูกต้องแล้วและโปรดทราบว่า BC ที่ซับซ้อนอาจดูแตกต่างอย่างสิ้นเชิงในตารางที่หยาบทำให้การแก้ไขไม่มีประโยชน์

• ตรวจสอบการรักษาคำที่มาของคุณอีกครั้ง ฉันจำได้ว่ากำลังทำอะไรบางอย่างในระยะยืดออกที่เกี่ยวข้องกับคำนั้นเมื่อฉันเขียนมันเพื่อปัวซอง

• ฉันไม่เคยเห็นความต้องการที่จะย้ำเพื่อที่จะบรรจบกันบนตะแกรงที่หยาบ วิธีแก้ปัญหานั้นขึ้นอยู่กับการปรับตารางตกค้างที่ถูกต้อง คุณกำลังพยายามที่จะผลักดันข้อผิดพลาดออกจากโดเมน / กำจัดพวกเขาออก หากคุณเข้าหากริด coarsest อย่างเต็มที่ในช่วงแรก ๆ การแก้ปัญหาของคุณค่อนข้างไกลจากโซลูชันกริดที่ถูกต้องเพราะส่วนที่เหลือของคุณยังไม่ทันสมัย นี่คือเหตุผลที่ว่าทำไมคุณถึงเห็นสิ่งตกค้างเพิ่มขึ้นอย่างแน่นอน

• นอกจากนี้ลองใช้ปัจจัยการผ่อนคลายสำหรับทั้งผู้ จำกัด และผู้ดำเนินการต่อกล่าวคือ 0.75

ถ้าช่วยได้นี่เป็นสิ่งที่ประวัติ FAS ที่เหลือของฉันดูเหมือนจะเป็นปัญหาปัวซองโดยใช้กริดเดี่ยวผ่านวงจร 7V เต็ม ฉันเชื่อว่าปัจจัยการผ่อนคลายคือ 0.75 และฉันใช้รูปแบบ RK แบบ 3 ขั้นตอนเรียบขึ้นด้วยการทำซ้ำเพียงครั้งเดียวในแต่ละระดับกริด

หากคุณกำลังใช้การแยกส่วนที่เป็นกึ่งกลางจุดสุดยอดข้อ จำกัด ของรัฐควรเป็นการฉีดมากกว่าข้อ จำกัด ที่เหลือแบบเต็มน้ำหนักที่ปรากฏว่าคุณใช้ นั่นคือแทนที่$I_h^H$ กับ $\hat I_h^H$เมื่อ จำกัด สถานะ การใช้การ จำกัด น้ำหนักแบบเต็มสำหรับสถานะสร้างนามแฝงของส่วนประกอบความถี่สูงของรัฐซึ่งหลังจากนำไปใช้$u^h \gets u^h (u^H - I_h^H u^h)$ส่งผลให้เกิดเสียงรบกวนใหม่ในระดับเดียวกับก่อนการแก้ไขแบบหยาบ (เงื่อนไขขอบเขตมักเป็นสาเหตุของผลกระทบนี้โดยเฉพาะ) ใช้การฉีด$\hat I_h^H u^h$และปัญหานี้ควรหายไป

การ จำกัด สถานะของรัฐต้องการเพียงลำดับรองระดับสูงเท่านั้น (การสงวนความถี่ที่ต่ำอย่างแม่นยำ) แต่ลำดับหลัก (นามแฝงของความถี่สูง) นั้นไม่สำคัญ การฉีดมีคำสั่งหลัก 0 และคำสั่งรองแบบไม่มีที่สิ้นสุด ในขณะเดียวกันข้อ จำกัด ที่เหลือต้องการทั้งคำสั่งหลักและรองให้เป็นค่าบวก (อย่างน้อย) ดูในส่วนของ 4.3 Achi แบรนด์ของ multigrid คู่มือ

เมื่อออกแบบวิธีการของ MG คุณควรมองหาข้อผิดพลาดแทนที่จะใช้วิธีตกค้างและเพื่อให้แน่ใจว่าคุณมีน้ำหนักมาตรฐานอย่างเหมาะสม

ฉันแก้ไขปัญหาได้แล้ว ฉันเก็บไว้$u_{old}^H=I_h^Hu^h$ เมื่อลงระหว่างรอบ V และนำกลับมาใช้ใหม่ในภายหลัง

$u^h\leftarrow u^h+I_H^h(u^H-I_h^Hu^h)=u^h+I_H^h(u^H-u_{old}^H)$.

ปัญหาคือก่อนที่จะลงอีกครั้งจาก $H$ ถึง $2H$, $u_{old}^H$ได้รับการผ่อนคลายในสถานที่ จัดเก็บสำเนาก่อนที่ขั้นตอนการผ่อนคลายช่วย ตั้งแต่$u_{old}^H$ จำเป็นต้องใช้ใน FAS เท่านั้นมันไม่ได้แสดงในการคำนวณเชิงเส้น