ด้วยระบบเชิงเส้นตรงสามมิติของ SPD เราสามารถคำนวณล่วงหน้าเพื่อให้ดัชนีทั้งสามสามารถลิงก์ในเวลา O (1) ได้หรือไม่?

พิจารณาสมมาตรบวกแน่นอนระบบ tridiagonal เชิงเส้น ที่และ n รับสามดัชนี , ถ้าเราถือว่าเฉพาะแถวสมการอย่างเคร่งครัดระหว่างและ hold เราสามารถกำจัดตัวแปรกลางเพื่อรับสมการของรูปแบบ โดยที่0 สมการนี้เกี่ยวข้องกับค่าของถึงเป็นอิสระจากอิทธิพลของ "นอก" (กล่าวว่าถ้ามีข้อ จำกัด ที่ส่งผลต่อ )

A x = b

$A x = b$

A \in R^{n \times n}

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

b \in R^{n}

$b \in \mathbb{R}^n$

0 \leq i < j < k < n

$0 \le i < j < k < n$

i

$i$

k

$k$

u x_{i} + v x_{j} + w x_{k} = c

$u x_i + v x_j + w x_k = c$

v > 0

$v > 0$

x_{j}

$x_j$

x_{i}, x_{k}

$x_i,x_k$

x_{0}

$x_0$

คำถาม : เป็นไปได้หรือไม่ที่จะประมวลผลระบบเชิงเส้นในเวลาล่วงหน้าเพื่อให้สมการการเชื่อมโยงสำหรับสามารถกำหนดได้ในเวลา ? $Ax = b$ $O(n)$ $(i,j,k)$ $O(1)$

หากเส้นทแยงมุมของเท่ากับ 2 ค่าเบี่ยงเบนจากตำแหน่งคือและผลลัพธ์ที่ต้องการคือผลลัพธ์การวิเคราะห์สำหรับสมการปัวซองที่แยกส่วน น่าเสียดายที่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะเปลี่ยนระบบ SPD tridiagonal ทั่วไปให้เป็นสมการปัวซองสัมประสิทธิ์คงที่โดยไม่ทำลายโครงสร้าง tridiagonal โดยหลักแล้วเพราะตัวแปรที่ต่างกันสามารถมี "การคัดกรอง" ในระดับที่แตกต่างกัน ยกตัวอย่างเช่นการปรับขนาดเส้นทแยงมุมอย่างง่ายของสามารถกำจัดครึ่งหนึ่งของอานนท์ของแต่ไม่ใช่อีกครึ่งหนึ่ง $A$ $-1$ $b = 0$ $x$ $2n-1$ $A$

วิธีการแก้ปัญหานี้จะต้องมีการจัดเรียงปัญหาเพื่อให้จำนวนการคัดกรองสามารถสะสมเป็นอาร์เรย์ขนาดเชิงเส้นและจากนั้น "ยกเลิก" อย่างใดไปถึงสมการการเชื่อมโยงสำหรับสามที่กำหนด

Update (สัญชาตญาณเพิ่มเติม) : ในแง่ของ PDEs ฉันมีปัญหาเชิงเส้นรูปไข่เชิงเส้นใน 1D และฉันต้องการที่จะรู้ว่าฉันสามารถใช้ใน precomputation เพื่อสร้างโซลูชัน "วิเคราะห์" ที่สามารถค้นหาได้หรือไม่ ในเวลาที่ฉันได้รับอนุญาตให้เปลี่ยนแปลงเงื่อนไขขอบเขต $O(n)$ $O(1)$

linear-algebra poisson

— Geoffrey Irving
แหล่งที่มา

คำตอบ:

นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ค่อนข้างไม่เสถียรที่ใช้งานได้เฉพาะเมื่อการเชื่อมต่อระหว่างตัวแปรไม่ได้เกิดขึ้นเสมอ สมมติว่าสำหรับความเรียบง่ายที่0 ก่อนอื่นให้คำนวณสมการการเชื่อมโยงสำหรับสำหรับ , พูด $b = 0$ $n$ $(0,i,n-1)$ $0 \le i < n$

x_{i} = a_{i} x_{0} + b_{i} x_{n - 1}

$x_i = a_i x_0 + b_i x_{n-1}$

ทีนี้เนื่องจากเราสามารถรวมสมการการเชื่อมโยง th และ th และกำจัดเพื่อให้ได้ $i < j$ $i$ $j$ $x_{n-1}$

\begin{aligned} b_{j} x_{i} & = a_{i} b_{j} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{i} x_{j} & = a_{j} b_{i} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{j} x_{i} - b_{i} x_{j} & = (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) x_{0} \\ x_{i} & = \frac{a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}}{b_{j}} x_{0} + \frac{b_{i}}{b_{j}} x_{j} \end{aligned}

$\begin{aligned} b_j x_i &= a_i b_j x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_i x_j &= a_j b_i x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_j x_i - b_i x_j &= (a_i b_j - a_j b_i) x_0 \\ x_i &= \frac{a_i b_j - a_j b_i}{b_j} x_0 + \frac{b_i}{b_j} x_j \end{aligned}$

กระบวนการนี้สามารถทำซ้ำอีกครั้งเพื่อกำจัดให้k) น่าเสียดายที่เราสูญเสียความเสถียรใกล้กับหรือโดยทั่วไปหากระบบไตรภาคีแยกตัวเป็นบล็อกอิสระ ถ้านี่ไม่ใช่ปัญหา แต่ฉันกังวลเกี่ยวกับการแยกย่อยสำหรับค่าเล็ก ๆ แต่เป็นค่าบวก $x_0$ $(i,j,k)$ $b_j = 0$ $b_j = 0$

— Geoffrey Irving
แหล่งที่มา

เมื่อนำสิ่งนี้ไปใช้ฉันสามารถยืนยันได้ว่า (1) ใช้งานได้จริงและ (2) ไม่เสถียรอย่างยิ่ง โดยสังหรณ์ใจวิธีการแก้ปัญหานี้เป็นการรวมการคาดการณ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งแบ่งลักษณะแทรกซึมที่ดีของปัญหารูปไข่

— Geoffrey Irving

ดูเหมือนว่าวิธีการของคุณคือการคำนวณล่วงหน้าฟังก์ชั่นสีเขียวสำหรับดัชนีภายในทั้งหมด ไม่น่าแปลกใจเลยที่คุณจะมีปัญหาเมื่อเนื่องจากข้อมูลเกี่ยวกับค่าขอบเขตสามารถแพร่กระจายไปยังจุดสนใจได้ยาก ฉันไม่คิดว่าจะมีวิธีทั่วไปในเรื่องนี้ ดูเหมือนว่าคุณอาจจะดีกว่าในการสร้างโครงสร้างต้นไม้ (อาจเป็นความพยายามในการคำนวณล่วงหน้าของ ) ซึ่งช่วยให้คุณได้รับฟังก์ชันของ Green สำหรับส่วนย่อยของโดเมนเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาที่อาจเกิดขึ้น

b_{j} \approx 0

$b_j\approx 0$

n \log n

$n\log n$

— วิกเตอร์หลิว

เวอร์ชันต้นไม้คือ precompute บวกต่อสาม น่าเสียดายที่ฉันค้นหาโซลูชันเวลาเชิงเส้นโดยเฉพาะ

O (n)

$O(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— เจฟฟรีย์เออร์วิงก์

ฉันสงสัยว่าคุณสามารถทำสิ่งที่มีประโยชน์ด้วยการแยกตัวประกอบแบบลดวัฏจักรของ A (ซึ่งฉันเชื่อว่ายังมีขนาด O (n)) นำมาใช้ใหม่เป็นจำนวนมากของบล็อกที่จะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อแยกย่อยหลักย่อยต่อเนื่องของ A. มันให้ O (1) แต่บางที O (log n) ...

— Robert Bridson
แหล่งที่มา

ใช่วิธีการแก้ปัญหาอยู่ในทันที แต่น่าเศร้าที่ทำลายชื่อกระดาษที่ต้องการ ("ตัวแก้เส้นตรงเวลาเชิงเส้นตรงสำหรับโปรแกรมกำลังสองนูนที่มีขอบเขต จำกัด ")

O (\log n)

$O(\log n)$

— เจฟฟรีย์เออร์วิง

ไม่มีโอกาสในการตัดจำหน่ายเพื่อช่วยเหลือคุณใช่ไหม

— Robert Bridson

มีการตัดจำหน่ายอื่น ๆ จำนวนมากที่เกิดขึ้นดังนั้นจึงเป็นไปได้ค่อนข้าง แต่ฉันก็ไม่รู้เหมือนกัน

— Geoffrey Irving

นี่คือสิ่งที่ผมจะต้องออกไปตัดจำหน่ายค่าใช้จ่าย: cstheory.stackexchange.com/questions/18655/...

— Geoffrey Irving

ที่ดี! มีคนโพสต์คำตอบที่ยอดเยี่ยมสำหรับคำถาม cstheory นั้นดังนั้นฉันไม่ควรต้องการคำตอบสำหรับคำถามนี้อีกต่อไป การดำเนินการคูณ semigroup ในคำถามนั้นกำจัดตัวแปรกลาง

— เจฟฟรีย์เออร์วิงก์

นี่เป็นความพยายามอีกวิธีหนึ่งซึ่งมีความเสถียรมากกว่าวิธีการยกเลิก แต่ก็ยังไม่ดีนัก

ถ้าคือ SPD tridiagonal matrix Meurant [1] จะให้สูตรที่มีเสถียรภาพดังต่อไปนี้สำหรับรายการ $A$ $B = A^{-1}$

B_{i j} = b_{i + 1} \dots b_{j} \frac{d_{j + 1} \dots d_{n}}{δ_{i} \dots δ_{n}}

$B_{ij} = b_{i+1}\cdots b_j \frac{d_{j+1}\cdots d_n}{\delta_i \cdots \delta_n}$

ที่ ,เป็นรายการ offdiagonal เชิงลบและจะได้มาจากและ factorizations ของ สูตรการลิงก์สำหรับมีรูปแบบ $i \le j$ $b_i$ $d_i,\delta_i$ $UL$ $LU$ $A$ $i < j < k$

x_{j} = {(\begin{matrix} B_{j i} \\ B_{k i} \end{matrix})}^{T} {(\begin{array}{cc} B_{i i} & B_{i k} \\ B_{k i} & B_{k k} \end{array})}^{- 1} (\begin{matrix} x_{i} \\ x_{k} \end{matrix})

$x_j = \left(\begin{array}{c}B_{ji} \\ B_{ki}\end{array}\right)^T \left(\begin{array}{cc}B_{ii} & B_{ik} \\ B_{ki} & B_{kk}\end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{c}x_i \\ x_k\end{array}\right)$

น่าเสียดายที่สูตรนี้ยังคงไม่เสถียร โดยสังหรณ์ใจถ้าและอยู่ใกล้กับแหล่งที่มาของเดลต้าที่มีความคล้ายคลึงกับที่และฤษีเมทริกซ์อยู่ใกล้กับเอกพจน์ $i$ $k$ $i$ $k$ $2 \times 2$

[1]: Gerard Meurant (1992), "บทวิจารณ์เกี่ยวกับการผกผันของเมทริกซ์ทแยงมุมแบบสมมาตรและเมทริกซ์บล็อกสี่เหลี่ยมด้านขนานบล็อก"

— Geoffrey Irving
แหล่งที่มา