ฉันควรทำตามแนวทางใดเมื่อเลือกตัวแก้ระบบเชิงเส้นหร็อมแหร็ม?

ระบบเชิงเส้นแบบกระจัดกระจายมีความถี่เพิ่มขึ้นในแอปพลิเคชัน หนึ่งมีงานประจำมากมายให้เลือกสำหรับการแก้ปัญหาระบบเหล่านี้ ในระดับสูงสุดมีสันปันน้ำระหว่างทางโดยตรง (เช่นการกำจัดแบบเกาส์แบบเบาบางหรือการสลายตัวแบบโคลสลอสด้วยอัลกอริธึมการสั่งแบบพิเศษและวิธีการแบบหลายหน้า) และการวนซ้ำ (เช่น GMRES, (bi-)

วิธีการหนึ่งกำหนดว่าจะใช้วิธีการโดยตรงหรือซ้ำ? เมื่อทำการเลือกแล้วหนึ่งจะเลือกอัลกอริทึมเฉพาะได้อย่างไร ฉันรู้แล้วเกี่ยวกับการเอารัดเอาเปรียบของสมมาตร (เช่นใช้การไล่ระดับสีแบบคอนจูเกตสำหรับระบบเชิงบวกแบบสมมาตรแบบเบาบาง) แต่มีข้อควรพิจารณาอื่น ๆ เช่นนี้เพื่อพิจารณาในการเลือกวิธีหรือไม่?

สิ่งสำคัญเมื่อเลือกตัวแก้ซ้ำคือสเปกตรัมของผู้ปฏิบัติงานดูบทความนี้ อย่างไรก็ตามมีผลลัพธ์เชิงลบมากมายให้ดูกระดาษนี้ที่ไม่มีตัวแก้ซ้ำที่ชนะสำหรับปัญหาทั้งหมดและกระดาษนี้ซึ่งพวกเขาพิสูจน์ว่าพวกเขาสามารถรับโค้งบรรจบสำหรับ GMRES สำหรับสเปกตรัมใด ๆ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายพฤติกรรมของนักแก้ปัญหาซ้ำ ๆ ยกเว้นในบางกรณีที่แยกได้ดังนั้นตัวเลือกที่ดีที่สุดของคุณคือลองใช้ทั้งหมดโดยใช้ระบบเช่นPETScซึ่งมีตัวแก้ปัญหาโดยตรง

ตัวเลือกระหว่างวิธีโดยตรงและวนซ้ำขึ้นอยู่กับเป้าหมายและปัญหาที่เกิดขึ้น

สำหรับวิธีการโดยตรงเราสามารถทราบ:

• เมทริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์ของการเปลี่ยนแปลงระบบเชิงเส้นในช่วงเวลาของการคำนวณและพฤษภาคมสำหรับความต้องการของหน่วยความจำระบบเบาบางไอเสียและเพิ่มความพยายามในการทำงานเนื่องจากการเติม
• ต้องทำให้เสร็จเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่มีประโยชน์
• การแยกตัวประกอบสามารถนำกลับมาใช้ใหม่ได้ในขั้นตอนต่อมาหากมีหลายฝ่ายที่อยู่ทางขวา
• สามารถใช้สำหรับการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นเท่านั้น
• ล้มเหลวไม่ค่อย

สำหรับวิธีการวนซ้ำเราสามารถทราบ:

• เป้าหมายคือการให้ผลลัพธ์บางส่วนหลังจากการทำซ้ำจำนวนน้อยเท่านั้น
• ความพยายามในการแก้ปัญหาควรน้อยกว่าวิธีโดยตรงสำหรับปัญหาเดียวกัน
• ประหยัดกับการจัดเก็บ (ไม่ต้องกรอก)
• มักจะเขียนโปรแกรมได้ง่าย
• โซลูชันโดยประมาณที่รู้จักสามารถใช้ประโยชน์ได้
• บางครั้งมันเร็วและบางครั้งก็ไม่ได้ (บางครั้งก็แตกต่างกัน)
• สำหรับปัญหาที่ซับซ้อนวิธีการวนซ้ำนั้นมีความแข็งแกร่งน้อยกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับวิธีการโดยตรง

แนวทางสำหรับเมื่อใช้วิธีการโดยตรงหรือทำซ้ำ?

• วิธีการวนซ้ำเมื่อเมทริกซ์สัมประสิทธิ์เบาบางและวิธีการโดยตรงไม่สามารถใช้ประโยชน์จาก sparsity ได้อย่างมีประสิทธิภาพ (หลีกเลี่ยงการสร้างการเติม)
• วิธีการโดยตรงสำหรับหลาย ๆ ด้านขวา
• วิธีการวนซ้ำสามารถมีประสิทธิภาพมากขึ้นถ้าความแม่นยำนั้นไม่ต้องกังวล
• วิธีการวนซ้ำสำหรับระบบสมการไม่เชิงเส้น

ฉันเห็นด้วยอย่างสมบูรณ์กับคำตอบที่ได้รับไปแล้ว ฉันต้องการเพิ่มว่าวิธีการวนซ้ำทั้งหมดต้องใช้การเดาเริ่มต้นบางอย่าง คุณภาพของการเดาเริ่มต้นมักจะส่งผลต่ออัตราการรวมกันของวิธีการที่คุณเลือก วิธีการเช่น Jacobi, Gauss Seidel และต่อเนื่องมากกว่าการผ่อนคลายทั้งหมดทำงานเพื่อ "ลดความผิดพลาด" ให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในแต่ละขั้นตอนข้อผิดพลาด ( ดูรายละเอียดในเอกสารนี้). สองสามขั้นตอนแรกจะลดข้อผิดพลาดความถี่สูงได้อย่างรวดเร็ว แต่ข้อผิดพลาดความถี่ต่ำนั้นต้องใช้การวนซ้ำอีกหลายครั้งเพื่อทำให้เรียบขึ้น นี่คือสิ่งที่ทำให้การบรรจบกันช้าสำหรับวิธีการเหล่านี้ ในกรณีเช่นนี้เราสามารถเร่งความเร็วการบรรจบกันโดยการแก้ไขข้อผิดพลาดความถี่ต่ำ (เช่นการแก้ปัญหาเดียวกันบน coarser mesh) ก่อนจากนั้นจึงแก้ไขข้อผิดพลาดความถี่ที่สูงขึ้น (เช่นบนตาข่ายปลีกย่อย) หากเราใช้แนวคิดนี้ซ้ำโดยการหารและพิชิตเราจะได้สิ่งที่เรียกว่าวิธีการหลายกริด แม้ว่าระบบเชิงเส้นจะไม่สมมาตรมีการใช้งานทางเลือกของวิธีการหลายตารางสำหรับระบบเมทริกซ์กระจัดกระจาย nonsingular ใด ๆ (เช่นวิธีการหลายพีชคณิตพีชคณิตตาราง) ซึ่งสามารถเร่งการบรรจบกันของตัวแก้ปัญหา อย่างไรก็ตามความสามารถในการปรับขนาดของพวกเขาในระบบคู่ขนานเป็นเรื่องของการวิจัยจำนวนมาก.

มีคำถามสำคัญที่ขาดหายไปในคำถามของคุณ: เมทริกซ์มาจากไหน โครงสร้างของปัญหาที่คุณพยายามแก้ไขมีศักยภาพที่ดีในการแนะนำวิธีการแก้ปัญหา

หากเมทริกซ์ของคุณมาจากสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยด้วยสัมประสิทธิ์แบบเรียบวิธีเรขาคณิตหลายจุดจะยากที่จะเอาชนะโดยเฉพาะในสามมิติ หากปัญหาของคุณน้อยกว่าปกติพีชคณิตแบบหลายค่าเป็นวิธีที่ดี ทั้งสองมักจะรวมกับวิธี Krylov พื้นที่ ตัวแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพอื่น ๆ สามารถหาได้จากวิธีการหลายอย่างที่รวดเร็วหรือการแปลงฟูริเยร์ที่รวดเร็ว